Boa noite Vitor.
O polinômio cúbico de Bézier é dado por
p(t) = (1 - t)³ p0 + 3t.(1 - t)² p1 + 3t².(1 - t) p2 + t³ p3
Substituindo t por ZERO, temos
p(0) = (1 - 0)³ p0 + 3.0.(1 - 0)² p1 + 3.0².(1 - 0) p2 + 0³ p3
p(0) = p0 (Assim como informa o exercício)
Substituindo t por 1, temos
p(1) = (1 - 1)³ p0 + 3.1.(1 - 1)² p1 + 3.1².(1 - 1) p2 + 1³ p3
p(1) = p3 (Como o enunciado diz que p(1) = p1, então p1 = p3)
Agora vamos confrontar as informações da derivada.
Para derivarmos os termos que possuem coeficientes iguais a 3, ou seja,
3t.(1 - t)²
e
3t².(1 - t)
teremos que usar a Regra do Produto.
No primeiro deles, 3t.(1 - t)² , usamos ainda a Regra da Cadeia para derivada (1 - t)².
Lembrando que a Regra do Produto é dada por
(f . g) ' = f ' . g + f . g '
Lembrando que a Regra da Cadeia é dada por
(fog)' = ( f(g) )' = f ' (g) . g '
Portanto
( 3t.(1 - t)² )' = 3(1 - t)² - 6t(1 - t)
( 3t².(1 - t) )' = 6t(1 - t) - 3t²
Para os termos ao cubo, usamos a 'REGRA DO TOMBO', para polinômios
Logo a derivada de p(t) é dada por
p'(t) = - 3(1 - t)² p0 + [ 3(1 - t)² - 6t(1 - t) ] p1 + [ 6t(1 - t) - 3t² ] p2 + 3t² p3
Para encontrar p'(0), basta substituir t por ZERO. Neste caso teremos que
p'(0) = - 3(1 - 0)² p0 + [ 3(1 - 0)² - 6.0.(1 - 0) ] p1 + [ 6.0.(1 - 0) - 3.0² ] p2 + 3.0² p3
p'(0) = -3 p0 + 3 p1
p'(0) = 3 (p1 - p0) (Igual a informação do enunciado)
Para encontrar p'(1), basta substituir t por 1. Neste caso teremos que
p'(1) = - 3(1 - 1)² p0 + [ 3(1 - 1)² - 6.1.(1 - 1) ] p1 + [ 6.1.(1 - 1) - 3.1² ] p2 + 3.1² p3
p'(1) = -3 p2 + 3 p3
p'(1) = 3 (p3 - p2) (Igual a informação do enunciado) => COMO p1 = p3 => p'(1) = 3(p1 - p2)
Nestas circunstâncias, p1 = p3, a derivada p'(t) é dada por
p'(t) = - 3(1 - t)² p0 + [ 3(1 - t)² - 6t(1 - t) ] p1 + [ 6t(1 - t) - 3t² ] p2 + 3t² p3
Juntando p1 com p3 temos
p'(t) = - 3(1 - t)² p0 + [ 3(1 - t)² - 6t(1 - t) + 3t² ] p1 + [ 6t(1 - t) - 3t² ] p2
Ou seja, a derivada neste caso, não "dependerá" de p3, pois este é igual a p1.
Espero ter ajudado e bons estudos.
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