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Definições:
- Uma função f:U => R é quase-côncava quando, para qualquer a ? R, o conjunto C = { x ? U: f(x) ? a } é convexo.
- Uma relação de preferências R é estritamente convexa se x R y (ou seja, x preferido a y), com x ? y, implicar em, para qualuer r ? (0, 1), r x + (1 - r) y R y, ou seja, r x + (1 - r) y é preferido estritamente a y.
a) Se as preferências são estritamente convexas, tome a ? R, e x, y quaisquer tais que x ? y e U(x) = U(y) = a. Como sabemos que, para todo r ? (0, 1), x + (1 - r)y R y e x + (1 - r)y R x, então U[x + (1 - r)y R y] > U(x), U(y) = a. Logo, C = { x ? U: U(x) ? a } é convexo.
b) Podemos definir a relação de preferência lexicográfica da seguinte maneira: (x, y) R (x', y') se (x = x' e y > y') ou x > x'. Se você tiver Xn = 1/n e Y = 0, (Xn, Y) é sempre preferida a (0, 1), no entanto lim (Xn, Y) = (0, 0) é estritamente pior do que (0, 1), ou seja, não vale a continuidade das preferências.
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