Álgebra, alguém me ajude? desde já agradeço

Professor Evandro E.

Identidade verificada

• CPF verificado
• E-mail verificado

Respondeu há 4 anos

Boa tarde, Jessica!! Espero que a resposta abaixo esclareça as suas dúvidas.

Comentários sobre as afirmações 

1 - Se os vetores não nulos U, V e W são LD, então W é uma combinação linear de U e V. 

Tomando a combinação linear de vetores, por exemplo u₁, u₂, u₃, ..., u_n. Então, temos: 

  u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n = 0  =>  u + v + w = 0  =>  w = - u - v  

Portanto, o vetor w é uma combinação dos vetores u e v, de tal forma que para a equação: 

w = (alfa1)*u + (alfa2)*v  =>  alfa1 = alfa2 = -1

[CORRETO] 

Observação: Dentre as alternativas que podem estar corretas estão: a) ou b) ou d). 

A alternativa c) não contempla a afirmação 1 como correta. E a alternativa e) descreve todas as alternativas incorretas. 

Vamos analisar a afirmação 3. 

3 - Se V e W são vetores de Rn, o conjunto formado pelos vetores da forma aV bW, a e b escalares, é um subespaço. 

Antes de começar a resolver o exercício, é preciso fazer uma consideração: acredito que na afirmação acima, no trecho "vetores da forma aV bW" esteja faltando um símbolo e, então, a afirmação correta pode ser: "vetores da forma aV + bW". 

Uma alternativa para a correção da afirmação também pode ser: "vetores da forma aV, bW", ou seja, são vetores V e W, cada um multiplicado por escalar. 

Considerando a correção, seguimos os comentários da resolução desta afirmação. 

Um conjunto X será um subespaço vetorial de Rn se: 

 i) Para quaisquer aV, bW ? X tivermos aV + bW ? X 

 ii) Para quaisquer alfa ? R, aV, bW ? X tivermos alfa*(aV) ? X, ou alfa*(bW) ? X 

As duas condições acima são confirmadas (é possível fazer essa verificação). Portanto, o conjunto formado pelos vetores da forma aV bW, a e b escalares, é um subespaço.

[CORRETO] 

Observação2: Agora, dentre as alternativas que podem estar corretas estão: a) ou d). 

A alternativa b) não contempla a afirmação 3 como correta. Estão já eliminadas, por exclusão as alternativas c) e e). 

Vamos analisar a afirmação 4. 

4 - Se V é ortogonal a W, então V é ortogonal a xW, para todo escalar x. 

Considere o símbolo ? designando ortogonalidade. 

Como V ? W, então tem-se a propriedade: 

 ii) V ? W implica W ? V. 

Então, tem-se também a propriedade: 

 v) Se W ? V e ? é um escalar, então ?W ? V. 

Lembrando que: 

 i) 0 ? V para todo V. 

Logo: 

 ii) 0 ? V implica V ? 0. (Isso pode acontecer para x = 0) 

Portanto, se V é ortogonal a W, então V é ortogonal a xW, para todo escalar x. 

[CORRETO] 

Observação3: Como as afirmações 1, 3 e 4 estão corretas. A única alternativa a ser marcada será d) Todas as afirmações estão corretas. 

A afirmação 2 também está correta, apesar de não ter sido analisada e comentada! 

Um subconjunto B será um subespaço vetorial A se: 

 i) Para quaisquer u, v ? B tivermos u + v ? B 

 ii) Para quaisquer alfa ? R, u ? B tivermos alfa*u ? B