Álgebra linear - autovetor

Professor Andrei L.

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Respondeu há 3 anos

Boa tarde, Regiane, tudo bem?

Neste exercício, você precisa aplicar os conceitos de Operadores Lineares associados a auto-valores e auto-vetores.

Para isso:

I) Encontrar a dimensão do operador. Neste caso dim(T)=3. Isso significa que precisamos ter 03 vetores LI na base do espaço onde T ocorre.

II) Encontrar os vetores da base do espaço do operador. O enunciado fornece, como dados, 03 vetores que são LI. Portanto, utilizaremos estes vetores como base.

III) Escrever o vetor genérico do domínio como uma combinação linear dos vetores da base. Para isso, colocamos constantes incógnitas multiplicando os vetores da base, como segue abaixo:

(x,y,z)=a(1,-1,1)+b(0,1,1)+c(1,0,1)

x=a+c

y=-a+b

z=a+b+c

IV) Obter o valor das constantes incógnitas a, b, e c, em termos de x, y e z. Isso envolve manipulações algébricas entre as equações componentes. Os valores das constantes incógnitas deste exercício são apresentadas abaixo:

a=-x-y+z

b=-x+z

c=2x+y-z

Os valores calculados são então substituídos na expressão geral

(x,y,z)=(-x-y+z).(1,-1,1)+(-x+z).(0,1,1)+(2x+y-z).(1,0,1)

V) Calcula-se os valores dos vetores da base transformados.

Lembre que para auto-vetores, basta multiplicar o auto-vetor pelo seu respectivo auto-valor

T(1,-1,1)=2.(1,-1,1)=(2,-2,2)

T(0,1,1)=2.(0,1,1)=(0,2,2)

Para o vetor do núcleo, o operador resulta no vetor nulo, isto é:

T(1,0,1)=(0,0,0)

V) Aplica-se o Operador Linear. Lembre que para o Operador, x, y e z são constantes, e, por conta disso, a seguinte propriedade é válida

T(m.v1)=m.T(v1)

Assim,

(x,y,z)=(-x-y+z).(1,-1,1)+(-x+z).(0,1,1)+(2x+y-z).(1,0,1)

T(x,y,z)=(-x-y+z).T(1,-1,1)+(-x+z).T(0,1,1)+(2x+y-z).T(1,0,1)

T(x,y,z)=(-x-y+z).(2,-2,2)+(-x+z).(0,2,2)+(2x+y-z).(0,0,0)

Fazendo as contas, obtém-se:

T(x,y,z)=(-2x-2y+2z, 2y, -4x-2y+4z)

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida, estou a disposição.

Atenciosamente,

Andrei