[ÁLGEBRA] Mostrar que os seguintes subconjuntos de R^4 são subespaços

Question

a) W={(x,y,z,t) R^4   / x+y=0 e z-t=0 b) W={(x,y,z,t) R^4   /2x+y-t=0 e z=0

Profes A. · Accepted Answer

Vamos analisar cada um dos subconjuntos para verificar se são subespaços de $ℝ^{4}$ .

a) $W = {(x, y, z, t) \in ℝ^{4} ∣ x + y = 0 e z - t = 0}$

Para que $W$ seja um subespaço vetorial, ele deve satisfazer três propriedades: 1. Deve conter o vetor nulo. 2. Deve ser fechado em relação à adição. 3. Deve ser fechado em relação à multiplicação por escalar.

1. Vetor nulo:

O vetor nulo em $ℝ^{4}$ é ( (0, 0, 0, 0) ). - Para ( (0, 0, 0, 0) \in W ), deve satisfazer $x + y = 0$ e $z - t = 0$ , o que é verdade.
- Portanto, ( (0, 0, 0, 0) \in W ).

2. Fechamento em relação à adição:

Sejam ((x_1, y_1, z_1, t_1), (x_2, y_2, z_2, t_2) \in W). Então, $x_{1} + y_{1} = 0$ , $z_{1} - t_{1} = 0$ , $x_{2} + y_{2} = 0$ , $z_{2} - t_{2} = 0$ .
Para a soma, ((x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2, t_1 + t_2)):
( (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) = 0 + 0 = 0 )
( (z_1 + z_2) - (t_1 + t_2) = (z_1 - t_1) + (z_2 - t_2) = 0 + 0 = 0 )

3. Fechamento em relação à multiplicação por escalar:

Se ( (x, y, z, t) \in W ) e $c$ é um escalar, então $c (x, y, z, t) = (c x, c y, c z, c t)$ :
$c x + c y = c (x + y) = c \cdot 0 = 0$
$c z - c t = c (z - t) = c \cdot 0 = 0$

Como todas as condições são atendidas, o subconjunto $W$ é um subespaço de $ℝ^{4}$ .

b) $W = {(x, y, z, t) \in ℝ^{4} ∣ 2 x + y - t = 0 e z = 0}$

1. Vetor nulo:

Para ( (0, 0, 0, 0) ) estar em $W$ , deve satisfazer $2 x + y - t = 0$ e $z = 0$ , o que ocorre.
Portanto, ( (0, 0, 0, 0) \in W ).

2. Fechamento em relação à adição:

Sejam ((x_1, y_1, z_1, t_1)) e ((x_2, y_2, z_2, t_2) \in W), então $2 x_{1} + y_{1} - t_{1} = 0$ , $z_{1} = 0$ , $2 x_{2} + y_{2} - t_{2} = 0$ , $z_{2} = 0$ .
Para a soma, ((x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2, t_1 + t_2)):
$2 (x_{1} + x_{2}) + (y_{1} + y_{2}) - (t_{1} + t_{2}) = (2 x_{1} + y_{1} - t_{1}) + (2 x_{2} + y_{2} - t_{2}) = 0 + 0 = 0$
$z_{1} + z_{2} = 0 + 0 = 0$

3. Fechamento em relação à multiplicação por escalar:

Se ( (x, y, z, t) \in W ) e $c$ é um escalar, então $c (x, y, z, t) = (c x, c y, c z, c t)$ :
$2 c x + c y - c t = c (2 x + y - t) = c \cdot 0 = 0$
$c z = c \cdot 0 = 0$

Como todas as condições são satisfeitas, o subconjunto $W$ é um subespaço de $ℝ^{4}$ .

André C. · Answer

Bom dia Lilian.  Primeiro gostaria de saber como ficou a sua outra questão de limites?  É do jeito que você postou ou faltou as funções?  Qualquer coisa me envie um e-mail com aquela questão que eu resolvo para você (Retire os espaços):    a n d r e p d m c @ y a h o o . c o m . b r   Sobre este exercício, a maneira mais simples para mostrar que é um subconjunto, W, de um espaço vetorial, V, é subespaço vetorial é mostrar que  1 - VAZIO de V pertence a W.  2 - Se a, b pertencem a W, então a + b também pertence a W.  3 - Se k pertence ao conjunto dos número REAIS e a pertence a W, então k.a pertence a W.  a)  1 -  Temos que W={(x,y,z,t) R^4 / x+y=0 e z-t=0,  Como x + y = 0 => x = -y                            (e)                     z - t = 0 => z = t  Logo W é caracterizado por w = (-y, y, t, t)   Neste caso, temos que W tem dimensão igual a 2, pois é formado por 2 vetores LI (Linearmente Independentes) onde estes vetores são y(-1, 1, 0, 0) e t(0, 0, 1, 1)   Desta maneira, se y = t = 0, teremos w = (0, 0, 0, 0), logo o VAZIO de R^4 pertence a W.  2 - Seja a = (a1, a2, a3, a4) e b = (b1, b2, b3, b4) tal que a, b pertencem a W. Usando que w = (-y, y, t, t) temos   a + b =  (-a2, a2, a3, a3) + (-b2, b2, b3, b3)  a + b = (-(a2 + b2), a2 + b2, a3 + b3,  a3 + b3)  Logo a + b pertence a W, pois pode ser escrito como (-y, y, t, t) para quaisquer vetores a e b.  3 - Seja k pertencente aos REAIS e w pertencente a W, então  kw = k.(-y, y, t, t) = (-ky, ky, kt, kt)  Logo o vetor kw pertence a W, pois pode ser escrito como (-y, y, t, t) para quaisquer valores de k e w.  Como W satisfaz as 3 propriedades, então W é subespaço (vetorial).  b)  1 -  Temos que W={(x,y,z,t) R^4 /2x+y-t=0 e z=0,   Como 2x+y-t=0 = 0 => Fazendo x = y, temos 2x + x - t = 0 => t = 3x                           (e)                     z = 0  Logo W é caracterizado por w = (x, x, 3x, 0)   Neste caso, temos que W tem dimensão igual a 1, pois é formado por 1 vetores LI (Linearmente Independentes) onde este vetor é x(1, 1, 3, 0).   Desta maneira, se x = 0, teremos w = (0, 0, 0, 0), logo o VAZIO de R^4 pertence a W.  2 - Seja a = (a1, a2, a3, a4) e b = (b1, b2, b3, b4) tal que a, b pertencem a W. Usando que w = (x, x, 3x, 0) temos   a + b =  (a1, a1, 3a1, 0) + (b1, b1, 3b1, 0)  a + b = (a1 + b1, a1 + b1, 3(a1 + b1),  0)  Logo a + b pertence a W, pois pode ser escrito como  (x, x, 3x, 0) para quaisquer vetores a e b.  3 - Seja k pertencente aos REAIS e w pertencente a W, então  kw = k. (x, x, 3x, 0) = (kx, kx, k3x, 0)  Logo o vetor kw pertence a W, pois pode ser escrito como  (x, x, 3x, 0) para quaisquer valores de k e w.  Como W satisfaz as 3 propriedades, então W é subespaço (vetorial).  Espero ter ajudado e bons estudos.

[ÁLGEBRA] Mostrar que os seguintes subconjuntos de R^4 são subespaços

a) $W = {(x, y, z, t) \in ℝ^{4} ∣ x + y = 0 e z - t = 0}$

b) $W = {(x, y, z, t) \in ℝ^{4} ∣ 2 x + y - t = 0 e z = 0}$

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a) W={(x,y,z,t)∈ℝ4∣x+y=0 e z−t=0}

b) W={(x,y,z,t)∈ℝ4∣2x+y−t=0 e z=0}

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a) $W = {(x, y, z, t) \in ℝ^{4} ∣ x + y = 0 e z - t = 0}$

b) $W = {(x, y, z, t) \in ℝ^{4} ∣ 2 x + y - t = 0 e z = 0}$