[ÁLGEBRA] Mostrar que os seguintes subconjuntos de R^4 são subespaços

Bom dia Lilian. Primeiro gostaria de saber como ficou a sua outra questão de limites? É do jeito que você postou ou faltou as funções? Qualquer coisa me envie um e-mail com aquela questão que eu resolvo para você (Retire os espaços): a n d r e p d m c @ y a h o o . c o m . b r Sobre este exercício, a maneira mais simples para mostrar que é um subconjunto, W, de um espaço vetorial, V, é subespaço vetorial é mostrar que 1 - VAZIO de V pertence a W. 2 - Se a, b pertencem a W, então a + b também pertence a W. 3 - Se k pertence ao conjunto dos número REAIS e a pertence a W, então k.a pertence a W. a) 1 - Temos que W={(x,y,z,t) R^4 / x+y=0 e z-t=0, Como x + y = 0 => x = -y (e) z - t = 0 => z = t Logo W é caracterizado por w = (-y, y, t, t) Neste caso, temos que W tem dimensão igual a 2, pois é formado por 2 vetores LI (Linearmente Independentes) onde estes vetores são y(-1, 1, 0, 0) e t(0, 0, 1, 1) Desta maneira, se y = t = 0, teremos w = (0, 0, 0, 0), logo o VAZIO de R^4 pertence a W. 2 - Seja a = (a1, a2, a3, a4) e b = (b1, b2, b3, b4) tal que a, b pertencem a W. Usando que w = (-y, y, t, t) temos a + b = (-a2, a2, a3, a3) + (-b2, b2, b3, b3) a + b = (-(a2 + b2), a2 + b2, a3 + b3, a3 + b3) Logo a + b pertence a W, pois pode ser escrito como (-y, y, t, t) para quaisquer vetores a e b. 3 - Seja k pertencente aos REAIS e w pertencente a W, então kw = k.(-y, y, t, t) = (-ky, ky, kt, kt) Logo o vetor kw pertence a W, pois pode ser escrito como (-y, y, t, t) para quaisquer valores de k e w. Como W satisfaz as 3 propriedades, então W é subespaço (vetorial). b) 1 - Temos que W={(x,y,z,t) R^4 /2x+y-t=0 e z=0, Como 2x+y-t=0 = 0 => Fazendo x = y, temos 2x + x - t = 0 => t = 3x (e) z = 0 Logo W é caracterizado por w = (x, x, 3x, 0) Neste caso, temos que W tem dimensão igual a 1, pois é formado por 1 vetores LI (Linearmente Independentes) onde este vetor é x(1, 1, 3, 0). Desta maneira, se x = 0, teremos w = (0, 0, 0, 0), logo o VAZIO de R^4 pertence a W. 2 - Seja a = (a1, a2, a3, a4) e b = (b1, b2, b3, b4) tal que a, b pertencem a W. Usando que w = (x, x, 3x, 0) temos a + b = (a1, a1, 3a1, 0) + (b1, b1, 3b1, 0) a + b = (a1 + b1, a1 + b1, 3(a1 + b1), 0) Logo a + b pertence a W, pois pode ser escrito como (x, x, 3x, 0) para quaisquer vetores a e b. 3 - Seja k pertencente aos REAIS e w pertencente a W, então kw = k. (x, x, 3x, 0) = (kx, kx, k3x, 0) Logo o vetor kw pertence a W, pois pode ser escrito como (x, x, 3x, 0) para quaisquer valores de k e w. Como W satisfaz as 3 propriedades, então W é subespaço (vetorial). Espero ter ajudado e bons estudos.