como resolver a integral que vai do intervalo de 1 a 2 sendo que ela é 2x-2/x^3+x?

Professor Bernardo H.

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Respondeu há 9 anos

Ariclenes, se você me mandar teu e-mail, amanhã, provavelmente depois do almoço, te mando a resolução, passo a passo, bem explicada, num arquivo HTML, que é mais seguro que DOC. Ou respondo aqui mesmo.

Saudações

Bernardo

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RESOLUÇÃO:

Temos a integral: ∫(2x - 2)/(x³ + x) dx

Na minha opinião, é mais fácil resolver primeiro a integral indefinida. Resolvendo a integral definida diretamente, se você precisar fazer uma mudança de variável, precisará também alterar os limites de integração. Sabe do que estou falando, certo?

Essa integral se resolve pelo método das frações parciais.

Reescrevendo o integrando como soma de frações parciais:

(2x - 2)/(x³ + x) = (Ax + B) / (x² + 1) + D / x = ( (Ax + B) x + D(x² + 1) ) / (x² + 1) x =

 = ( Ax² + Bx + Dx² + D ) / (x² + 1) x = ( (A + D) x² + Bx + D ) / (x² + 1) x = ( 0x² + 2x – 2 ) / ( x³ + x )

Então A + D deve ser igual a zero, B deve ser igual a 2 , D deve ser igual a (–2) e, portanto, A deve ser igual a 2

A resolução aqui é simples, bastando olhar para os membros direito e esquerdo do último sinal de igualdade na sentença acima, mas se a integral fosse mais complexa, você deveria montar um sistema de equações. Então:

(2x – 2)/(x³ + x) = (Ax + B) / (x² + 1) + D / x = (2x + 2)/(x² + 1) - 2/x

Agora ficou fácil. Pegue o resultado acima e integre, já escrevendo cada membro como uma integral separada:

∫(2x – 2)/(x³ + x)dx = ∫( (2x + 2)/(x² + 1) - 2/x ) dx = ∫ 2x/(x² + 1) dx + ∫ 2/(x² + 1) dx – ∫ (2/x) dx

1ª Integral: Faça  x² + 1 = t => 2x dx = dt  Então:

∫ 2x/(x² + 1) dx = ∫ (2xdx)/(x² + 1) =  ∫ dt/t = ln |t| + C₁ = ln |x² + 1| + C₁

Entende por que posso escrever ∫ 2x/(x² + 1) dx como ∫ (2xdx)/(x² + 1) ?

2ª Integral: A constante 2 sai da integral. Então:

∫ 2/(x² + 1) dx = 2 ∫ dx/(x² + 1) = 2 arctan x + C₂

Entende por que posso escrever ∫ 2/(x² + 1) dx como 2 ∫ dx/(x² + 1) ?

3ª Integral: A constante 2 também sai da integral. Então:

– ∫ (2/x) dx = – 2 ∫ (dx/x) = – 2 ln |x| + C₃

Idem ?

A rigor, deveria ser 2 ( ∫ dx / (x² + 1) ) = 2 ( arctan x + C₂ ) = 2 arctan x + 2 C₂. Da mesma forma, 2 ( ln | x | + C₃ ) = 2 ln | x | + 2 C₃

Mas como a constante é indeterminada, não faz diferença. Então, você pode fazer C₁ + C₂ + C₃ = C. Ademais, quando for integrar usando os limites de integração, vai resultar zero. Entende isso? Você verá abaixo.

Agora integre usando os limites (integral definida):

∫(1 a 2)(2x - 2)/(x³ + x) dx = [ ln | x² + 1 | + C₁ + 2 arctan x + C₂ – 2 ln | x | + C₃ ](1 a 2) = [ ln | x² + 1 | + 2 arctan x – 2 ln | x | + C ](1 a 2)

Chame a função acima de G(x). É mais difícil de errar se, para cada um dos membros da função, você já fizer a subtração dos limites de integração para cada membro, ou seja, no nosso caso, G(2) – G(1). Além disso, como os limites de integração são positivos, x² + 1 e x nunca serão negativos; Além disso, x² + 1 também nunca resultará negativo. Então, não há necessidade de se preocupar com os módulos. Assim, vamos integrar G(x) de 1 a 2. Vou deixar as constantes C₁ , C₂ e C₃ apenas para você ver como elas “somem”:

G(2) – G(1) = [ ln (2² + 1) + C₁ ] – [ ln (1² + 1) + C₁ ] + [ 2 arctan 2 + C₂ ] – [ 2 arctan 1 + C₂ ] + [ – 2 ln 2 + C₃ ] – [ – 2 ln 1 + C₃ ] =

= ln (2² + 1) + C₁ – ln (1² + 1) – C₁ + 2 arctan 2 + C₂ – 2 arctan 1 – C₂ – 2 ln 2 + C₃ + 2 ln 1 – C₃ =

= ln (2² + 1) – ln (1² + 1) + 2 arctan 2 – 2 arctan 1 – 2 ln 2 + 2 ln 1 = ln 5 – ln 2 + 2 arctan 2 – 2 arctan 1 – 2 ln 2 + 2 ln 1 =

= ln 5 – 3 ln 2 + 2 arctan 2 – 2 arctan 1 ≈ 0,1734974795...

1) Lembre-se, ln x é um logaritmo (log_e x) em que a base é o número e = 2,71828182845...

2) Lembre-se, ln 1 = 0, pois e⁰ = 1

3) Lembre-se, 3 ln 2 = ln 2³ = ln 8, pois log a^b = b·log a

4) Lembre-se, ln 5 – ln 8 = ln 5/8, pois ln a/b = ln a – ln b, assim como ln a·b = ln a + ln b

The End