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Olá Andre!
Na intersecção com o plano, x =1:
z²/4 - 1/9 = y/3 -> y = 3z²/4 - 1/3 (concavidade para cima)
Vemos então que a cônica é uma parábola. a = 3/4, b = 0, c = -1/3
Vértice da parábola: y = -Delta/4a, onde Delta = b²-4ac = 1
logo, vértice: y = -1/3, x=1 (plano) e z = ? Veja: -1/3 = 3z²/4 - 1/3 -> z = 0
Vértice: x = 1, y = -1/3, z = 0.
Foco da párabola: observe que z²/4 - y/3- 1/9 = 0 -> z² = 2* 2/3 * (y + 1/3). Lembrando que z² = 2p (y -a ) é a fórmula reduzida da parábola, temos que 2/3 é o parâmetro da parábola. Então, o foco da parábola situa-se a p/2 de distância do vértice, ou seja, 1/3 de distância. Ora, mas o vértice se encontra em y = -1/3, então o foco está em y = -1/3 + 1/3 = 0.
Foco: x = 1, y = 0, z = 0 (mesma vertical do vértice).
Segunda questão.
Resolvemos essa questão rapidamente da seguinte forma.
[a b [0 [0 2b=0 -> b=0
c d X 2] = 1 2d=1 -> d=1/2
e f] 0] 2f=0 -> f=0
[a b [1 [3 a+b=3 -> a=3
c d X 1] = 2 c+d=2 -> c=3/2
e f] 1] e+f=1 -> e=1
Assim a matrz da transformação linear é:
T(x,y) = [3 0 [x
3/2 1/2 X y]
1 0]
Ela, portanto, também pode ser represtentada da seguinte forma:
T(x,y) = (3x, 3x/2 + y/2, x)
Prof. Luis Fernando
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