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Engenharia Estatística

Suponha que P(AlB) = 0,4, P(AlB') = 0,2 e P(B) = 0,8. Determine P(BlA). 

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Mateus perguntou há 3 anos

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Professor Yuri F.
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Mateus, tudo bem?

 

Essa questão é cheia de detalhes, mas conseguimos resolvê-la com tranquilidade.

 

Para isso, precisamos relembrar de alguns conceitos antes de começarmos:

 

1. Probabilidade de eventos complementares:

P(A') = 1 - P(A)

 

2. Probabilidade condicional:

P(A|B) = P(A/\B) / P(B)

 

3. Probabilidade de intersecção de eventos:

P(A/\B) = P(B|A) * P(A) = P(A|B) * P(B)

 

4. Probabilidade condicional de eventos complementares:

P(A'|B) = 1 - P(A|B)

 

Dados:

P(A|B) = 0,4 (I)

P(A|B') = 0,2 (II)

P(B) = 0,8 (III)

P(B|A) = ?

 

Comecemos, enfim, destrinchando (I):

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)

P(B|A) * P(A) = 0,4 * 0,8

P(B|A) * P(A) = 0,32 (IV)

 

Passamos para (II) :

 

P(A|B') = P(B'|A) * P(A) / P(B')

P(A|B') = [1 - P(B|A)] * P(A) / [1 - P(B)]

P(A|B') = [1 - P(B|A)] * P(A) / [1 - P(B)]

P(A|B') * [1 - P(B)] = [1 - P(B|A)] * P(A)

0,2 * [1 - 0,8] = [1 - P(B|A)] * P(A)

P(A) * [1 - P(B|A)] = 0,04 (V)

 

Assim, chegamos numa sistema de equações com duas variáveis:

(IV) : P(B|A) * P(A) = 0,32

(V) : P(A) * [1 - P(B|A)] = 0,04

 

Arrumamos (V) e depois substituimos (IV) em (V):

P(A) - P(A) *  P(B|A) = 0,04

P(A) - 0,32 = 0,04

P(A) = 0,36 (VI)

 

Finalizamos substituindo (VI) em (IV):

P(B|A) * P(A) = 0,32

P(B|A) = 0,32 / P(A)

P(B|A) = 0,32 / 0,36

Dividindo-se numeral e denominador por 0,04, temos:

P(B|A) = (0,32 / 0,04) / (0,36 / 0,04) = 8/9

P(B|A) = 8/9

ou P(B|A) = 0,889.

 

Espero que tenha ajudado!

 

Qualquer dúvida, fico à disposição.

 

 

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