Suponha que P(AlB) = 0,4, P(AlB') = 0,2 e P(B) = 0,8. Determine P(BlA).
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Mateus, tudo bem?
Essa questão é cheia de detalhes, mas conseguimos resolvê-la com tranquilidade.
Para isso, precisamos relembrar de alguns conceitos antes de começarmos:
1. Probabilidade de eventos complementares:
P(A') = 1 - P(A)
2. Probabilidade condicional:
P(A|B) = P(A/\B) / P(B)
3. Probabilidade de intersecção de eventos:
P(A/\B) = P(B|A) * P(A) = P(A|B) * P(B)
4. Probabilidade condicional de eventos complementares:
P(A'|B) = 1 - P(A|B)
Dados:
P(A|B) = 0,4 (I)
P(A|B') = 0,2 (II)
P(B) = 0,8 (III)
P(B|A) = ?
Comecemos, enfim, destrinchando (I):
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)
P(B|A) * P(A) = 0,4 * 0,8
P(B|A) * P(A) = 0,32 (IV)
Passamos para (II) :
P(A|B') = P(B'|A) * P(A) / P(B')
P(A|B') = [1 - P(B|A)] * P(A) / [1 - P(B)]
P(A|B') = [1 - P(B|A)] * P(A) / [1 - P(B)]
P(A|B') * [1 - P(B)] = [1 - P(B|A)] * P(A)
0,2 * [1 - 0,8] = [1 - P(B|A)] * P(A)
P(A) * [1 - P(B|A)] = 0,04 (V)
Assim, chegamos numa sistema de equações com duas variáveis:
(IV) : P(B|A) * P(A) = 0,32
(V) : P(A) * [1 - P(B|A)] = 0,04
Arrumamos (V) e depois substituimos (IV) em (V):
P(A) - P(A) * P(B|A) = 0,04
P(A) - 0,32 = 0,04
P(A) = 0,36 (VI)
Finalizamos substituindo (VI) em (IV):
P(B|A) * P(A) = 0,32
P(B|A) = 0,32 / P(A)
P(B|A) = 0,32 / 0,36
Dividindo-se numeral e denominador por 0,04, temos:
P(B|A) = (0,32 / 0,04) / (0,36 / 0,04) = 8/9
P(B|A) = 8/9
ou P(B|A) = 0,889.
Espero que tenha ajudado!
Qualquer dúvida, fico à disposição.
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