a) o ângulo entre uma reta e um plano (theta) vem dado pelo vetor diretor da reta (u) e o vetor normal ao plano (v):
theta = arcsen(|u.v|/|u||v|) ...(1)
só temos que calcular os vetores u e v.
Para o caso da reta, temos a sua equação paramétrica, é dizer, cada variável x, y e z dependem de um parâmetro, nesse caso é ''e'':
x = 1-2*e
y = 0-1*e
z = 3+1*e
o vetor diretor da reta vem dado pelos coeficientes do parâmetro ''e'', assim: u = (-2,-1,1)
Para o caso do plano é fácil porque temos ele na sua equação implícita: 1*x+1*y+0*z-5 = 0, assim, o vetor normal ao plano vem dados pelos coeficientes das variavéis x, y e z. Portanto: v = (1,1,0)
Calculamos as expressões requeridas na equação (1):
u.v = (-2,-1,1).(1,1,0) = -2*1 + (-1)*1 + 1*0 = -3 ---> |u.v| = 3
|u| = sqrt((-2)^2+(-1)^2+1^2) = sqrt(6)
|v| = sqrt(1^2+1^2+0^2) = sqrt(2)
Finalmente: theta = arcsen(3/sqrt(6)*sqrt(2)) = arcsen(3/sqrt(12))
mas sqrt(12) = 2*sqrt(3) e assim: 3/sqrt(12) = 3/(2*sqrt(3)) = sqrt(3)/2
então, theta = arcsen(sqrt(3)/2)
é fácil notar que theta corresponde a theta = 60° = pi/3.
b) o ângulo entre dois planos vem dado só pelos vetores normais aos planos v1 e v2:
theta = arccos(|v1.v2|/|v1||v2|) ...(2)
como já temos os planos nas suas equações implícitas é fácil calcular os respetivos vetores normais:
Plano 1: 2x-3y+5z-8=0 ---> v1 = (2,-3,5)
Plano 2: 3x+2y+5z-4=0 ---> v2 = (3,2,5)
Calculamos as expressões requeridas na equação (2):
v1.v2 = (2,-3,5).(3,2,5) = 2*3 + (-3)*2 + 5*5 = 25 ---> |v1.v2| = 25
|v1| = sqrt(2^2+(-3)^2+5^2) = sqrt(38)
|v2| = sqrt(3^2+2^2+5^2) = sqrt(38)
Finalmente: theta = arccos(25/sqrt(38)*sqrt(38)) = arccos(25/38) = arccos(0.66) ---> theta = 48.7°