Integral dupla

Engenharia Ensino superior Cálculo III

Determine a altura h do reservatório parabólico z = x^2 + y^2 que deve ser construído de modo que seu volume seja de 2pi (unidades de volume).Use integral dupla para fundamentar sua resposta.

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Inacio perguntou há 6 anos

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Professor Sony M.
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Respondeu há 6 anos
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Olá Inacio, Para calcular volumes a partir de integrais duplas, vc tem que usar a expressão integral integral f(x,y) dxdy (obs.: a palavra "integral" se refere ao simbolo de integral) Assim, para o seu caso, teríamos integral integral (x^2+y^2)dxdy Mas, neste caso, passando para coordenadas polares, teremos integral integral r^2*r d(theta)dr A integral em theta vai de 0 à 2pi. Logo, 2pi* integral r^3 dr Para determinar o limites de r, percebe que z = x^2 + y^2 = r^2 Assim, para uma altura específica z = h, você terá r = raiz(h) Assim, os limites de integração de r serão rmin = 0 e rmax = raiz(h). Prosseguindo com o cálculo, 2pi * integral r^3 dr = 2pi * (r^4/4) Aplicando os limites de integração, fica volume = 2pi * (h^2)/4 Igualando este resultado à 2pi e isolando h, resulta em h = 2m. Acredito que seja isto amigo, Até.

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