Qual a transformada de Fourier do sinal f(t)=10cos(t/2) + 5cos(t/4)? Resolver detalhadamente.

Olá Maiquer. A transformada de Fourier de um sinal x(t) é linear: F{a1*x1(t) + a2*x2(t)} = a1*F{x1(t)} + a2*F{x2(t)} para f(t) = 10 cos(t/2) + 5 cos(t/4) = 10 cos(w_1*t) + 5 cos(w_2*t); w_1 = 1/2, w_2 = 1/4 F{f(t)} = 10 * F{cos(w_1*t)} + 5 * F{cos(w_2*t)} = 10 * pi * (delta(w - w_1) + delta(w - w_1)) + 5 * pi * (delta(w - w_2) + delta(w - w_2)) (RESPOSTA) onde delta(w) é a "função" (distribuição para ser mais preciso) impulso de Dirac: -------- Detalhamento do que foi usado: O resultado usado é consequência da Transformada aplicada à exponencial complexa. Para isso o cosseno é escrito como a soma de duas exponenciais cos(X) = (exp(+jX) + exp(-jX))/2 F(delta(t-a)) = int(-inf,+inf,) delta(t-a)*exp(-j*w*t) dt, pelas propriedades do delta(t) F(delta(t-a)) = exp(-j*w*a) Da propriedade de Dualidade: F{y(t)} = Y(w) <=> F{Y(t)} = 2pi*y(-w) F(exp(-j*t*a)) = 2pi*delta(-w+a) = 2pi*delta(w-a) De onde se tem: F(exp(+j*t*a)) = 2pi*delta(w+a) Consequentemente: F{cos(w_0 * t)} = pi*( delta(w - w_0) + delta(w + w_0) ). OBS: 2*pi aparece pela forma que a transformada é comumente usada em engenharia elétrica, há variações desse valor dependendo da escolha do par transformada e transformada inversa. Consulta rápida a tabelas e delta Dirac (Lembre-se de olhar nos livros) vide: https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac