Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4m de altura e raio da base 2m. Se a água entra no tanque à razão de 0, 001m3/min, calcule a razão em que o nível de água está subindo quando a altura é 1m. (resp.: dh/dt = 3/25 m/min)
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Altura do tanque:
Raio da "base" (no caso de um cone invertido, a "base" está para cima):
Vazão de líquido:
Nível ou altura de liquido num instante qualquer:
Raio correspondente ao nível num instante qualquer:
A taxa de variação de volume de líquido "V" no tanque é igual à vazão de volume de liquido "v" fluindo para o tanque.
Volume de líquido dentro do tanque num instante qualquer:
Subistitui na derivada:
Necessário encontrar uma relação entre o raio "r" e o nível. Considere dois triângulos retângulos imaginários dentro do tanque, como nas figuras desse link:
"dicasdecalculo.com.br/conteudos/derivadas/aplicacoes-de-derivadas/taxas-relacionadas/"
Pela semelhança de triângulos tem-se uma relação entre o raio "r" e o nível:
Então
Deseja saber dh/dt quando h = 1 m. Substitui os valores de R, H, v e h no lado direito e calcula dh/dt. O resultado obtido é 0,00127 m/min. Mas a resposta fornecida é 3/25 m/min = 0,12 m/min. Para os mesmos valores de R e H, essa resposta é obtida para vazão de 0,094 m3/min, ou aproximadamente 0,1 m3/min.
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