Boa tarde, tudo bem ? Cara não sei ser seria o seu forte, mais veja se você poderia me ajudar nas questões abaixo:

Olá, Claudinei. Tudo bem?

44) Vamos chamar de x a nota da segunda prova. Para descobrir o MENOR valor que x pode assumir, podemos atribuir à nota da terceira prova o valor 10. Dessa forma, se x for menor que o valor que vamos descobrir, mesmo que Antônio tira 10 na próxima, ele não conseguirá passar.

Média Aritmética:

Ela é feita somando a nota das 3 provas e dividindo por 3, e queremos que ela maior ou igual a 6, logo:

(3 + x + 10)/3 >= 6. Resolvendo essa inequação para x, obtemos: x >=5.

Média Geométrica:

Multiplica-se os três valores e extrai-se do produto a raiz cúbica (elevando a um terço). Da mesma forma, queremos que ela seja maior ou igual a 6:

(3.x.10)^(1/3) >= 6. Novamente, elevando os dois lados a 3 e isolando x, você obtém: x >= 7,2.

Portanto, alternativa C).

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45) O cálculo da probabilidade do evento de interesse pode ser realizada calcular a probabilidade do evento complementar, que é o que de PELO MENOS 13 casas dessas 15 NÃO consome mais água que o recomendado. Isso é dado por:

P(Pelo menos 13 casas não consumem mais água) = P(13 casas não consomem mais água) + P(14 casas não consomem mais água) + P(15 casas não consomem mais água) (**)

 

Para calcular a probabilidade de EXATAMENTE 'i' dessas 15 casas NÃO consumirem mais água que o recomendado, a fórmula é dada pela expressão da distribuição binomial. Posso te explicar a razão dela depois, com calma. Nesse caso, usamos que a probabilidade de qualquer uma das 15 casas consumir muita água é 1/5*. Segue:

P(i casas NÃO consomem mais água) = (15!/( i!(15-i)! ) ) x (4/5)^i x (1/5)^(15-i)

Assim, aplicando essa fórmula à expressão (**) (Obs: receio que fazer essas contas à mão, numa prova sem calculadora, possa ser inviável):

P(Pelo menos 13 casas não consumem mais água) = 0.2309 + 0.1319 + 0.0352 = 0.398

Finalmente, a probabilidade do evento de interesse é dado por:

P(No mínimo 3 casas consumem mais água) = 1 - P(Pelo menos 13 casas não consumem mais água) = 1 - 0.398 = 60.2

*Obs.: Aqui é necessário assumir que o número de casas é grande o bastante para que, ao sabermos que uma das casas consome mais água que o recomendado, a probabilidade de uma outra casa qualquer também o consumir permanece 1/5. (Para um número de casas pequeno, isso não funcionaria).

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31) Essa última questão também é um pouco trabalhosa e, por motivos de tempo, deixo para outro professor responder. Uma dica rápida é o uso de uma árvore de possibilidades, somando as probabilidades em cada ramo onde ocorre o evento de interesse.

Espero ter ajudado. Um abraço!

Boa tarde Claudinei! Segue abaixo resoluções das questões: 44) Primeiramente é importante recordar a diferença entre média aritmética e média ponderada: Média aritmética É o resultado da divisão da soma de n valores por n. Por exemplo, a média entre 5, 10 e 6 será: (5+10+6)/3 = 7 Média Geométrica Entre n valores, é a raiz de índice n do produto desses valores. Por exemplo, a média geométrica entre 1, 2 e 4: ?1*2*4 = ?8 = 2 A resolução: Para que seja possível passar é necessário tirar uma nota considerando que a ultima nota seja 10,0 (ou seja, ainda é possível passar) Média aritmética (3+x+10)/3 = 6 3+x+10 = 18 x = 18-3-10 x=5 Média Geométrica ?3*x*10 = 6 3*x*10 = 6^3 30*x = 216 x = 216/30 x = 7,2 45) Vamos rever o conceito de distribuição binominal (tentativa de Bernoulli) P(X = K) = ((n!/(k!)*(n-k)!)*(p^k)*(1-p)^(n-k) Sendo: p = probabilidade de sucesso (nesse caso, 1 em 5, ou seja, 1/5 = 0,2) n = numero de tentativas (neste caso, 15) k = o numero de sucessos (nesse caso, 3) Porém, é questionado "a probabilidade de que no mínimo três delas", então, o calculo é feito com: P(X>3) = 1 - [P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2)] P(X = 0) = {(15!)/[(0!)*(15!)]}*(0,2^0)*(0,8^15) = 0,0352 P(X = 1) = {(15!)/[(1!)*(14!)]}*(0,2^1)*(0,8^14) = 0,1319 P(X = 2) = {(15!)/[(2!)*(13!)]}*(0,2^2)*(0,8^13) = 0,2309 1 - 0,0352 - 0,1319 - 0,2309 = 0,602 = 60,2% Espero que ajude! =)

Boa tarde Claudinei Silva. Os professores Renato e Manuela já responderam e muito bem as questões 44 e 45. Ambas as resoluções estão bem apropriadas e detalhadas. Portanto, vou responder a questão 31, que como o professor Renato disse: "É bem trabalhosa!" Mas vamos lá, tentarei ser claro o suficiente. Primeiramente temos 4 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Correto? Ao retirarmos DUAS bolas, ao acaso, podemos ter três EVENTOS 1 - Duas AZUIS 2 - Uma AZUL e uma AMARELA 3 - Duas AMARELAS Vamos estudar cada um dos três casos 1 - Duas AZUIS: Probabilidade será 4/9 x 3/8 = 12/72 = 1/6 OBERVAÇÃO: POR ENQUANTO DEIXAREI EM FRAÇÃO! 2 - Uma AZUL e uma AMARELA: Note que podemos ter este evento de duas maneiras: 1ª = Azul e 2ª = Amarela Probabilidade será 4/9 x 5/8 = 20/72 = 5/18 1ª = Amarela e 2ª = Azul Probabilidade será 5/9 x 4/8 = 20/72 = 5/18 Note que ambas as probabilidades são IGUAIS. Portanto, a probabilidade de sair uma bola azul e outra amarela é de 5/18 + 5/18 = 10/18 = 5/9 3 - Duas AMARELAS: Probabilidade será 5/9 x 4/8 = 20/72 = 5/18. NOTE QUE SOMANDO AS PROBABILIDADES DOS 3 CASOS TEREMOS 1, POIS 1/6 + 5/9 + 5/18 => MMC = 18 3/18 + 10/18 + 5/18 = 18/18 = 1 PRIMEIRA PARTE DO PROBLEMA RESOLVIDA! Agora, temos que 3 bolas verdes serão colocadas nesta caixa e mais duas serão retiradas. Primeiro detalhe: Teremos 10 bolas na caixa, pois 9 - 2 + 3 = 10. CORRETO? O AGRAVANTE é que: PRECISAMOS CONDICIONAR a segunda parte aos resultados da primeira. CASO 1 Pelo caso 1 (DUAS AZUIS), teríamos a seguinte configuração após duas retiradas e entrada das 3 verdes. 2 AZUIS; 5 AMARELAS; 3 VERDES. CONFERE? A probabilidade disso acontecer é 1/6. Nosso EVENTO agora é SAIR DUAS BOLAS DA MESMA COR! Temos 3 CORES: AZUL, AMARELA e VERDE, então vamos separar por cores. 4 - Duas AZUIS: Probabilidade será 2/10 x 1/9 = 2/90 = 1/45 5 - Duas AMARELAS: Probabilidade será 5/10 x 4/9 = 20/90 = 2/9 6 - Duas VERDES: 3/10 x 2/9 = 6/90 = 1/15 Portanto, a probabilidade de, dado a CASO 1, termos duas bolas da mesma cor em uma segunda retirada de duas bolas é: 1/6 x (1/45 + 2/9 + 1/15) => 1/6 x (2/90 + 20/90 + 6/90) => 1/6 x 28/90 = 28/540 = 7/135 (Guarde este valor!) CASO 2 No caso 2 (uma de cada COR = AZUL E AMARELA), a configuração será 3 AZUIS; 4 AMARELAS; 3 VERDES. Aqui vale a seguinte OBSERVAÇÃO: "A probabilidade de sair DUAS verdes será a mesma dentro de cada caso, pois em todos teremos 3 verdes em 10 bolas, depois 2 verdes em 9 bolas." A probabilidade do caso 2 é 5/9. Agora os casos são 7 - Duas AZUIS: Probabilidade será 3/10 x 2/9 = 6/90 = 1/15 8 - Duas AMARELAS: Probabilidade será 4/10 x 3/9 = 12/90 = 2/15 9 - Duas VERDES: 3/10 x 2/9 = 6/90 = 1/15 Portanto, a probabilidade de, dado a CASO 2, termos duas bolas da mesma cor em uma segunda retirada de duas bolas é: 5/9 x (1/15 + 2/15 + 1/15) => 5/9 x 4/15 = 20/135 (Guarde este valor!) Observação: Como este DENOMINADOR é COMUM ao do resultado para o CASO 1, não vou simplificar! CASO 3 No caso 3 (DUAS AMARELAS), a configuração será 4 AZUIS; 3 AMARELAS; 3 VERDES. A probabilidade do caso 3 é 5/18. Agora os casos são 10 - Duas AZUIS: Probabilidade será 4/10 x 3/9 = 12/90 = 2/15 11 - Duas AMARELAS: Probabilidade será 3/10 x 2/9 = 6/90 = 1/15 12 - Duas VERDES: 3/10 x 2/9 = 6/90 = 1/15 Portanto, a probabilidade de, dado a CASO 2, termos duas bolas da mesma cor em uma segunda retirada de duas bolas é: 5/18 x (2/15 + 1/15 + 1/15) => 5/18 x 4/15 = 20/270 = 10/135 (Guarde este valor!) Somando os 3 valores guardados, temos A probabilidade total será 7/135 + 20/135 + 10/135 => 37/135 = 0,274 = 27,4% Possivelmente, o gabarito considera os números decimais das frações desde o começo. Por exemplo, considerar o 5/9 do CASO 2 como 0,56. Eu arredondei apenas no final, por isso, provavelmente obtive um valor subestimado, mas a palavra aproximadamente e as alternativas, não me deixariam errar o exercício. 27,4 % está mais próxima de 27,8%. Espero ter ajudado e ter sido claro. Grande abraço e boa noite!