Probabilidade com muitas variáveis

Professor Ricardo C.

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Respondeu há 3 anos

Olá!

Sendo os eventos

V: jogador vencer

EP: jogador usar equipamento próprio

ET: jogador usar equipamento do torneio

Sendo ? a interseção e ? a união dos conjuntos, e sendo P (A | B) a Probabilidade condicional do evento A dado que B ocorreu.

a) A Probabilidade de vencer é:

P(V) = P[(V ? EP) ? (V ? ET)].

Como os eventos EP e ET são mutuamente exclusivos, ou seja, os dois não podem ocorrer ao mesmo tempo:

P[(V ? EP) ? (V ? ET)] = P[(V ? EP)] + P[(V ? ET)

=P(V | EP) * P(EP) + P(V | ET) * P(ET)

= 0,17*0,53+0,06*0,47

P(V) =0,1183

A probabilidade do jogador vencer é de 0,1183, ou 11,83%.

b)

Evento

NC: jogador não conseguiu a classificação 

Seguindo o Teorema de Bayes:

P(EP | NC) = [P(NC | EP) * P(EP) ] / [P(NC | EP) * P(EP)+P(NC | ET) * P(ET)]

=0,65*0,53/(0,65*0,53+0,74*0,47)

P(EP | NC) =0,4976
A Probabilidade de ele ter jogado com equipamento próprio dado que ele não se classificou é de 49,76%.

c) Valor esperado é a Esperança:

Calcula-se a probabilidade de cada valor a ser recebido e multiplica-se cada um com o respectivo valor. Por fim, soma-se tudo e tem-se o Valor Esperado a receber

Eventos:

R1: ser o primeiro colocado

R23: ser o segundo ou terceiro colocado

E(valor)=800+P(R1)*3000+P(R23)*1200

P(R1)=P(V) e foi calculado na letra a.

Logo, precisamos calcular a probabilidade de ser o 2º ou 3º colocado.

P(R23)=P(R23 | EP) * P(EP) + P(R23 | ET) * P(ET)

P(R23)=0,18*0,53+0,20*0,47

P(R23)=0,1894

E(valor)=800+0,1183*3000+0,1894*1200

E(valor)=R$1382,18

O Valor Esperado a ser recebido é de 1382 reais e 18 centavos.

d) Como a probabilidade de vencer é fixa ao longo dos torneios e já foi calculada na letra a (P(V) = 0,1183), a probabilidade de vencer exatamente X torneios em 8 é dada pela distribuição binomial.

E a probabilidade de vencer pelo menos 3 em 8, é dada pelo complemento de se vencer menos de 3, que é dada pela soma das probabilidades de se vencer 0, 1 ou 2 apenas:

P(X>=3)=1-P(X<3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)

Sendo C(x,k) a combinação de x elementos k a k:

P(X=0)=C(8,0)*0,1183^0*(1-0,1183)^8=0,3652

P(X=1)=C(8,1)*0,1183^1*(1-0,1183)^7=0,3920

P(X=1)=C(8,2)*0,1183^2*(1-0,1183)^6=0,1841

P(X>=3)=1-0,3652-0,3920-0,1841

P(X>=3)=0,0587

A probabilidade de o jogador vencer pelo menos 3 é de apenas 0,0587, ou 5,87%.

Espero ter ajudado e estou à disposição para mais esclarecimentos.