Qual a chance de...

Professor André C.

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Respondeu há 4 anos

Boa noite Marcelo.

Questão interessante!

Vamos a resolução.

Podemos compreender/resolver esse problema por 3 caminhos na Estatística (ou até mais).

Provavelmente, eles não serão MATEMÁTICA iguais, mas, com certeza, serão ESTATISTICAMENTE equivalentes.

Caminho 1:

Se considerarmos X a variável aleatória quantidade de conversões, tem-se que:

X tem distribuição binomial com parâmetros p = 0,07 e n = 100.

Portanto, a probabilidade de X = 1 é dada pelo produto entre três números, sendo eles:

1 – Combinação de 100, 1 a 1;

2 – 0,07 elevado a 1;

3 – 0,93 elevado a 99;

Utilizando o Excel, com 12 casas decimais, chegamos que a probabilidade X = 1 ocorrer é:

0,005307744 (ou seja, em porcentagem é pouco mais do que 0,5%)

Caminho 2 – Mais “confiável” do que o caminho 1, em termos de resultado real:

Se considerarmos X a variável aleatória quantidade de conversões, como p = 0,07, podemos considerar que a distribuição de X é uma Poison (eventos raros). Dessa maneira, tem-se que o parâmetro lambda da Poisson é dada por:

Lambda = n · p = 100 · 0,07 = 7

Portanto, a probabilidade de X = 1 é dada pelo produto entre dois números dividido por um terceiro, sendo eles, respectivamente:

1 – Exponencial de (- lambda);

2 – Lambda elevado a x;

3 – x fatorial ou fatorial de x, se preferir;

Utilizando o Excel, com 12 casas decimais, chegamos que a probabilidade X = 1 ocorrer é:

0,006383174 (ou seja, em porcentagem é pouco mais do que 0,6%)

Caminho 3 – Considero o melhor e com mais rigor estatístico:

Como a quantidade de observações é igual a 100, o que consideramos suficientemente grande, podemos considerar que a distribuição de X é aproximadamente Normal, e fazermos a padronização para buscar a probabilidade na distribuição Normal Padrão.

Essa padronização consiste em uma fração em que:

O Numerador é a diferente entre X, nesse caso, X = 1 e o valor esperado (“média”) da distribuição Binomial, nesse caso, n · p = 7.

O Denominador é o desvio padrão de uma distribuição Binomial com os parâmetros n e p, que é dado pela raiz quadrado do produto entre n, p e (1-p), respectivamente, 100; 0,07; 0,93.

Portanto,

Numerador: (X - np) = (1 – 7) = - 6

Denominado: raiz(n · p · (1-p)) = raiz(100 · 0,07 · 0,93) = 2,551470164

Portanto, o valor padronizado é dado por:

Z = -6 / 2,551470164 = -2,351585405

Consultado a tabela Normal Padrão (-2,35), tem-se 0,094.

Pelo Excel, valor exato (-2,351585405), tem-se 0,09346799.

(ou seja, em porcentagem é pouco mais do que 0,9%)

Resumo da ÓPERA:

Nos 3 casos, a probabilidade, convertida em porcentagem, é menor do que 1%.

O que isso significa estatisticamente?

É pouco provável (apenas 1% dos casos), em um evento com 7% de sucesso, que em 100 abordagens haja apenas 1 sucesso.

Observações:

O terceiro caminho é, em termos de teoria estatística, melhor e mais correto, pois os dois primeiros caminhos tratam de casos discretos, portanto, possuem lacunas.

Perceba que foi preciso “compreender” o primeiro caminho para se construir os outros dois, pois os caminhos 2 e 3 têm origem na compreensão do caminho 1.

Repito que, estatisticamente, os três resultados levam a mesma conclusão, pois se fizermos um teste de hipóteses, os três valores obtidos seriam considerando iguais.

Espero ter ajudado.

Atenciosamente,