Questão de bioestatistica

Professor Ricardo I.

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Respondeu há 3 anos

Essa é uma questão de cálculo de probabilidades, dado um modelo normal especificado. Isso pode ser facilmente resolvido com um software (como o Excel, R, usando bibliotecas do Python etc.). Como suponho que a questão veio por uma razão de faculdade, onde se espera que resolva "na mão" (utilizando-se de uma tabela da normal padrão), irei passar o procedimento deste caso.

São quatro probabilidades sendo perguntadas -- sendo X ~ N(1,60; 0,0036):

a) P(1,65 < X < 1,75);

b) P(X > 1,70);

c) P(X < 1,60);

d) a porcentagem de alunos com altura menor que 1,50m - que é uma interpretação frequentista para P(X < 1,50).

Partindo da premissa que você dispõe somente de uma tabela da Z ~ N(0,1) (normal padrão), o procedimento a seguir é para padronizar a variável X e, com isso, conseguir ler as probabilidades na tabela. Lembrando que a probabilidade de uma variável aleatória contínua estar entre um valor "a" e "b" é definida como a integral definida da função densidade f(x) da v.a. entre os pontos "a" e "b", para a < b.

Passo 1: pegue cada quantil, desconte a média do modelo normal (mu) e divida pelo desvio padrão (sigma).

a) (1,75 - 1,60)/0,06 = 2,5

(1,65 - 1,60)/0,06 = 0,833

b) (1,70 - 1,60)/0,06 = 1,667

c) (1,60 - 1,60)/0,06 = 0

d) (1,50 - 1,60)/0,06 = -1,667

Passo 2: reescrever as probabilidades com os novos quantis, que serão relativos a uma Z ~ N(0,1)

a) P(0,833 < Z < 2,5);

b) P(Z > 1,667);

c) P(Z < 0);

d) P(Z < -1,667).

Passo 3: procurar esses quantis na tabela da normal padrão e ler a probabilidade. Atenção: cada tabela de normal padrão tem uma particularidade. Algumas mostram a área a partir do zero até o quantil z; outras tabelas mostram a área de -infinito até o quantil z; outras tabelas mostram a área do quantil z até o +infinito. Nesse caso, cada tabela tem um procedimento de leitura distinto. Também, nas tabelas nem sempre é possível encontrar o quantil exato, sendo que algumas vezes precisa-se escolher pelo quantil mais próximo ou então fazer uma interpolação linear (ainda que este último procedimento não seja muito recomendável, uma vez que a densidade normal não é nada linear). Por fim, para economizar "tempo" na hora de fazer a consulta e leitura dos valores na tabela, é bom ter sempre em mente que a distribuição normal é simétrica em torno da média.

Resultados: a seguir, coloco os resultados obtidos no software R.

a) P(1,65 < X < 1,75) = 0,1961

b) P(X > 1,70) = 0,0478

c) P(X < 1,60) = 0,5

d) a porcentagem de alunos com altura menor que 1,50m - que é uma interpretação frequentista para P(X < 1,50) = 0,0478

NOTA: Como X é uma variável aleatória contínua, tem-se que P(a < X < b) = P(a <= X < b) = P(a < X <= b) = P(a <= X <= b).