Questão sobre assimetria, média, moda e esperança

É a questão 22 da prova de analista censitário - métodos quantitativos do ibge

https://ibb.co/sKfFTMD

A resposta é a alternativa E. Usando a relação de Pearson para assimetria, obtenho Mo = 3*mediana - 2*média. Porém, esse resultado dá 23,5 e não 23 como proposto pela banca (FCC). Gostaria de saber o porquê

Lucas S.
Lucas
perguntou há 1 mês

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Professor Marcos F.
Respondeu há 1 mês
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Olá Lucas.

Em uma distribuição unimodal vale a relação de Pearson quando a distribuição é pouco assimétrica e próxima à Normal ou a Uniforme: Md = (Mo + 2.Me)/3 = (19 +2.22)/3 =21. Veja
http://www.microeconomicsnotes.com/statistics/relationship-between-mean-median-and-mode-statistics/15151

No caso, As = (Med - Mo)/s = 3/25 e a assimetria é moderada. Há 3 casos possíveis:

Caso 1: Simétrica onde Me = Md = Mo (descartada pelo enunciado, pois Me > Mo)

Caso 2: Assimétrica à esquerda ou assimétrica negativa: Me < Md < Mo (descartada pelo enunciado, pois Mo< Me)

Caso 3: Assimétrica à direita ou assimétrica positiva: Mo < Md < Me

Este caso respeita pelo enunciado pois Me> Md> Mo. Entretanto, pela fórmula acima, o valor dado pela alternativa "E" é incompatível.

O cálculo do CV (coef. de variação), resulta em raiz(625)/22*100 = 114%. As alternativas A, B e C também estão incorretas.

Assim, a alternativa E seria a menos inaceitável.

Creio que esta questão poderia ser anulada, pois dá margem a erro.

Bons estudos!
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Professor Gustavo B.
Respondeu há 1 mês

Para uma distribuição unimodal, temos que:


|(Mo(X)-Me(X))/σ| ≤ √3, onde σ = desvio padrão(X).


Portanto, temos que:


|(19-22)/σ| ≤ √3 → σ ≥ |(-3)/√3| → σ ≥ √3 → σ² ≥ √3


Sabemos também que:


σ² = E(X²) - E(X)², onde E(X²) = média de X² e E(X)² = (média de X)²


Combinando as equações acima, temos:


3 ≤ 625 - E(x)² → E(x)² ≤ 625-3 → E(x) ≤ √622 → E(x) ≤ 24,93 → Letra (E)

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