Para mostrar que B está contido em C, deve-se mostrar que todo elemento de B é também elemento de C.
Vamos lá.
Se x é elemento qualquer de B, então x é elemento de A ou x é elemento de C, pois (A união B) está contido em (A união C). Assim se x estiver em C, não há mais o que mostrar, pois neste caso todo elemento de B é elemento de C e, portanto, B está contido C.
Por outro lado, se x está em A, então x está em (A interseção B), pois pertence a B e também, ao mesmo tempo, a A. Mas, como (A interseção B) está contido (A interseção C), concluímos também que x estará em C, pois todo elemento de (A interseção B) é também e elemento de (A interseção C), e portanto, também neste caso B estará contido em C.
Portanto, todo elemento de B é também elemento de C, logo B está contido em C.