A mangueira de um jardim possui um diâmetro de 2 cm e está ligada a um irrigador que consiste em um recipiente com 10 orifícios, cada um de diâmetro 0,15 cm.

Boa tarde Juliane Apenas de não deixar exatamente claro, devemos considerar que a vazão na mangueira é igual a soma das 10 vazões do orifícios, ou seja, toda água vinda da mangueira que entre no recipiente sai pelos orifícios. Dessa maneira, temos que: Vm = 10 · Vf Sendo Vm a vazão da mangueira e Vf a vazão de um dos 10 furos do irrigador. A vazão é igual ao produto entre a velocidade que a água sai e a área da secção transversal da mangueira e dos orifícios. Assim temos: vm · Am = 10 · vf · Af Sendo vm velocidade de escoamento na mangueira e vf velocidade em cada orifício; Am a área de secção transversal na mangueira e Af a área da secção transversal em cada orifício. Considerando que a mangueira é cilíndrica (outra coisa que não está escrita no texto base) temos que a área da secção transversal é igual a área do círculo, dada por: A = Pi · r² Escrevendo essa área em função do diâmetro (dado no texto), temos que: A=pi/4 · d² sendo d o diâmetro da área transversal, Logo temos: vm · pi/4 · dm² = 10 · vf · pi/4 · df² Sendo dm diâmetro da mangueira e df o do furo. Eliminando pi/4 de ambos os lados temos: vm · dm² = 10 · vf · df² Transformando os diâmetros de cm para metros e substituindo todos os valores, temos: 5 · (0,02)² = 10 · vf · (0,0015)² 5 · 0,0004 = 10 · vf · 0,00000225 0,002 = 0,0000225 · vf vf = 88,88 m/s Portanto a velocidade de cada furo é de 88,88 m/s. Faz sentido a velocidade no furo ser maior que na mangueira, mas é meio forçada a velocidade de quase 90 m/s. Essa velocidade de 88,88 m/s é de quase 320 km/h. Espero ter ajudado e bons estudos.

Oi Juliane, tudo bem?

A resposta abaixo do colega Professor está muito boa, clara e correta e bem melhor que a minha e eu sugiro seguir por ela, mas apenas fazendo um raciocínio paralelo para complementar ainda mais, segue:

Como a vazão tem que ser constante, a velocidade vezes a área total tem que ser constante também. Isso significa que se a área diminui, a velocidade aumenta e que, além disso, isso se dá na mesma proporção, porém de forma inversa. Portanto, a área e a velocidade são inversamente proporcionais. 

 

Uma outra observação importante é que a área varia com o quadrado do diâmetro.

 

Baseados nisso podemos fazer as seguintes comparações:

 

Primeiro: o Diâmetro de entrada é (2/0,15) maior que o diâmetro de cada um dos orifícios de saída. Isso implica que a área de entrada é (2/0,15)^2 = (4/0,0225) maior do que a área de cada orifício de saída. Como são 10 orifícios de saída, se pensarmos em termos de área total, temos que a área de entrada é 4/(10*0,0225) = 4/0,225 MAIOR do que a área de saída

 

Segundo: Como nesse caso a velocidade e a área total são inversamente proporcionais, podemos concluir que a velocidade de entrada é 4/(0,225)  MENOR do que a velocidade de saída, ou seja a de saída é 4/(0,225) MAIOR do que a de entrada.

 

Assim, para achar a velocidade de saída, é só multiplicar a velocidade de entrada por 4/(0,225), o que vai dar 5*4/(0,225) ~ 88,89 m/s. 

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