Circuito rc

Boa tarde, Bruno! Aplicando a primeira lei de Kirchhoff, ou lei das malhas (que afirma que a soma de todas as quedas de tensão ao longo de uma malha de um circuito é nula), no circuito RC temos Ri(t) - E + q(t)/C = 0 ,.....................(1) onde R: resitência do circuito, i(t): corrente elétrica do circuito, E: força eletromotriz da bateria, q(t): carga armazenada no capacitor de capacitância C. Lembrando que a corrente elétrica é a variação de carga com o passar do tempo, i(t) = dq(t)/dt, a Eq. (1) fica dq(t)/dt + q(t)/RC = E/R ,...................(2) com solução q(t) = EC(1 - e^{-t/RC}) ....................(3) (Abaixo, no final dessa solução, eu resolvi a equação diferencial (2) caso tenha alguma dúvida.) A energia "Uc" de um capacitor é dada por Uc = q²/2C ,................................(4) que aplicando a Eq. (3) fica Uc = E²C(1 - e^{-t/RC})/2 ..................(5) Observe que antes da chave do circuito ser ligada, como ainda não há cargas no capacitor, em t = 0 a energia do capacitor é Uc(0) = 0. Depois de um tempo muito longo, fazendo t -> infinito a energia do capacitor tenderá para Uc(f) = E²C/2 ,.............................(6) ou seja, metade da energia da bateria. A outra metade é dissipada pelo efeito Joule, P = i²(t)R ,...................................(7) onde "P" é a potência da bateria dada por dUr/dt. A corrente é obtida derivando a Eq. (3), i(t) = dq(t)/dt = (E/R)e^{-t/RC}. Então substituindo na Eq. (7) dUr = (E²/R)e^{-t/RC}dt ,...................(8) integrando de t = 0 a t = infinito encontramos a outra metade da energia Ur = E²C/2 .................................(9) ############## Para resolver a equação diferencial (2) lembre-se que uma equação diferencial genérica y'(x) + P(x)y = G(x) , tem solução y(x) = (1/u(x))(\int u(x)G(x) dx + A) , onde A é uma constante e u(x) = exp{\int P(x)dx} . Então para a Eq. (2) temos P(x) = 1/RC, logo u(t) = e^(t/RC) . E a solução fica q(t) = e^{-t/RC}(\int e^{t/RC}(E/R) dt + A) , = EC + Ae^{-t/RC} . Como inicialmente o capacitor está descarregado, q(0) = 0, então q(0) = EC + A = 0 => A = -EC , e nossa solução fica q(t) = EC(1 - e^{-t/RC}) . ############## Espero ter ajudado. Bons estudos!