Como resolver?

Question

) Três cargas puntiformes estão dispostas no plano cartesiano. Uma carga Q1=-2,00µC localiza-se na origem. Outra carga Q2=+3,00µC, localiza-se na posição (4m;0) do plano cartesiano e, finalmente, a carga Q3=+2,00µC localiza-se na posição (0;3m). Admitindo que haja vácuo entre essas cargas, calcule a força devido à ação de Q2 e Q3 sobre Q1. Calcule o ângulo que a força resultante faz com o eixo x positivo.

Profes A. · Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos calcular as forças que as cargas $Q_{2}$ e $Q_{3}$ exercem sobre a carga $Q_{1}$ e depois somar essas forças vetorialmente para encontrar a força resultante. Usaremos a Lei de Coulomb para calcular as forças entre as cargas.

A Lei de Coulomb é dada pela fórmula:

F = k \cdot \frac{| Q_{1} \cdot Q_{2} |}{r^{2}}

onde: - $F$ é a magnitude da força entre as cargas, - $k$ é a constante eletrostática ( $k \approx 8, 99 \times 10^{9} {N m}^{2} / C^{2}$ ), - $Q_{1}$ e $Q_{2}$ são as cargas, - $r$ é a distância entre as cargas.

Passo 1: Calcular a força $F_{21}$ que $Q_{2}$ exerce sobre $Q_{1}$

As cargas estão assim dispostas: - $Q_{1} = - 2, 00 μ C$ em (0,0). - $Q_{2} = + 3, 00 μ C$ em (4,0).

A distância $r_{21}$ entre $Q_{1}$ e $Q_{2}$ é:

r_{21} = 4 - 0 = 4 m

Agora calculamos a força:

F_{21} = k \cdot \frac{| Q_{1} \cdot Q_{2} |}{r_{21}^{2}} = (8, 99 \times 10^{9}) \cdot \frac{| (- 2, 00 \times 10^{- 6}) \cdot (+ 3, 00 \times 10^{- 6}) |}{4^{2}}

Calculando:

F_{21} = (8, 99 \times 10^{9}) \cdot \frac{6, 00 \times 10^{- 12}}{16}

F_{21} = (8, 99 \times 10^{9}) \cdot (3, 75 \times 10^{- 12}) = 33, 71 \times 10^{- 3} = 0, 03371 N

A direção da força $F_{21}$ será para a esquerda (no sentido negativo do eixo x) devido à atração entre cargas opostas.

Assim, podemos escrever o vetor força como:

\vec{F_{21}} = - 0, 03371 \hat{i} N

Passo 2: Calcular a força $F_{31}$ que $Q_{3}$ exerce sobre $Q_{1}$

Agora vamos calcular a força entre $Q_{1}$ e $Q_{3}$ : - $Q_{3} = + 2, 00 μ C$ em (0,3).

A distância $r_{31}$ entre $Q_{1}$ e $Q_{3}$ é:

r_{31} = 3 - 0 = 3 m

Agora calculamos a força:

F_{31} = k \cdot \frac{| Q_{1} \cdot Q_{3} |}{r_{31}^{2}} = (8, 99 \times 10^{9}) \cdot \frac{| (- 2, 00 \times 10^{- 6}) \cdot (+ 2, 00 \times 10^{- 6}) |}{3^{2}}

Calculando:

F_{31} = (8, 99 \times 10^{9}) \cdot \frac{4, 00 \times 10^{- 12}}{9}

F_{31} = (8, 99 \times 10^{9}) \cdot (4, 44 \times 10^{- 13}) = 3, 99 \times 10^{- 3} = 0, 00399 N

A direção da força $F_{31}$ será para cima (no sentido positivo do eixo y) também devido à repulsão entre cargas de mesmo sinal.

Assim, podemos escrever o vetor força como:

\vec{F_{31}} = 0, 00399 \hat{j} N

Passo 3: Força Resultante $\vec{F_{R}}$

Agora somamos as forças vetorialmente:

\vec{F_{R}} = \vec{F_{21}} + \vec{F_{31}} = - 0, 03371 \hat{i} + 0, 00399 \hat{j}

Passo 4: Magnitude e ângulo da força resultante

Magnitude da força resultante:

F_{R} = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2}} = \sqrt{(- 0, 03371)^{2} + (0, 00399)^{2}}

Calculando:

F_{R} = \sqrt{0, 001134 + 0, 000016} = \sqrt{0, 001150} \approx 0, 03394 N

Agora, podemos calcular o ângulo $θ$ que a força resultante faz com o eixo x positivo:

\tan (θ) = \frac{F_{y}}{F_{x}} \Rightarrow θ = \tan^{- 1} (\frac{0, 00399}{- 0, 03371})

Calculando:

θ \approx \tan^{- 1} (- 0, 1186) \approx - 6, 74^{\circ}

Como estamos no segundo quadrante (porque $F_{x}$ é negativo e $F_{y}$ é positivo), o ângulo correto em relação ao eixo x positivo é:

θ = 180^{\circ} - 6, 74^{\circ} \approx 173, 26^{\circ}

Resumo dos Resultados:

A força resultante $F_{R}$ é aproximadamente $0, 03394 N$ .
O ângulo que a força resultante faz com o eixo x positivo é aproximadamente $173, 26^{\circ}$ .

Elias G. · Answer

Temos que:  Q1 = - 2.10^-6 C Q2 = + 3.10^-6 C Q3 = + 2.10^-6 C  E a fórmula para o cálculo da FORÇA ELETROSTÁTICA gerada pelas CARGAS:  F = (K.|Q1|.|Q2|) / d²  Onde,  F = FORÇA ELETROSTÁTICA gerada pelas CARGAS. K = 9.10^9 N.m²/C² (Constante Eletrostática). |Q1| = módulo do valor da CARGA Q1 (em Coulombs). |Q2| = módulo do valor da CARGA Q2 (em Coulombs). d² = o quadrado da DISTÂNCIA que separa as CARGAS. _____________________________  RESOLUÇÃO:  Se fizermos o desenho no plano cartesiano, considerando-se igualmente as coordenadas dadas, constatamos que as cargas irão formar um triângulo retângulo, da seguinte maneira:  No eixo horizontal (x): Cateto1: cargas Q1 e Q2, separadas por uma distância de 4 metros entre si. No eixo vertical (y):  Cateto2: cargas Q1 e Q3, separadas por uma distância de 3 metros entre si.  E como os pares de forças Q1xQ3 e Q1xQ2 possuem sinais contrários, estarão se repelindo. Em outras palavras, Q1 repele Q3, e Q1 repele Q2, simultaneamente, gerando duas FORÇAS ELETROSTÁTICA que formam um ÂNGULO de 90 graus entre si.  Calculemos primeiramente a FORÇA (F) que Q1 exerce em Q2 (eixo horizontal):  F = (9.10^9 . 2.10^-6 . 3.10^-6) / (4)² = 5,4.10^-2 / 1,6.10 = 3,375.10^-3 N  Calculemos agora a FORÇA (F´) que Q1 exerce em Q3 (eixo vertical): F´ = (9.10^9 . 2.10^-6 . 2.10^-6) / (3)² = 4.10^-3 N ___________________________________ Como as duas FORÇAS (encontradas acima) são de repulsão em relação à carga Q1, e fazem um ÂNGULO de 90 graus entre si (como já foi visto), resta-nos aplicar PITÁGORAS (e a regra do PARALELOGRAMA), a fim de determinar a FORÇA RESULTANTE que age sobre a CARGA Q1:  (Fr)² = (F)² + (F´)²   (Fr)² = (3,375.10^-3)² + (4.10^-3)²   (Fr)² = 1,139.10^-5 + 1,6.10^-5 = 2,739.10^-5  Fr = 5,23.10^-3 N (aproximados) _________________________________________ Quanto ao ângulo Â que a RESULTANTE faz com a HORIZONTAL, temos que:  Cateto1 (eixo horizontal) = 4 Cateto2 (eixo vertical) = 3 Hipotenusa = 5  Aplicando nossos conhecimentos básicos de trigonometria, teremos:  cos Â = 4/5 = 0,8  Portanto,   Â = arc cos (0,8)  Como não é um valor conhecido, consulte uma tabela, ou utilize uma calculadora científica caso queira saber o valor em graus.  ___________________________________

Como resolver?

Passo 1: Calcular a força $F_{21}$ que $Q_{2}$ exerce sobre $Q_{1}$

Passo 2: Calcular a força $F_{31}$ que $Q_{3}$ exerce sobre $Q_{1}$

Passo 3: Força Resultante $\vec{F_{R}}$

Passo 4: Magnitude e ângulo da força resultante

Resumo dos Resultados:

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Como resolver?

Passo 1: Calcular a força F21 que Q2 exerce sobre Q1

Passo 2: Calcular a força F31 que Q3 exerce sobre Q1

Passo 3: Força Resultante FR→

Passo 4: Magnitude e ângulo da força resultante

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Passo 1: Calcular a força $F_{21}$ que $Q_{2}$ exerce sobre $Q_{1}$

Passo 2: Calcular a força $F_{31}$ que $Q_{3}$ exerce sobre $Q_{1}$

Passo 3: Força Resultante $\vec{F_{R}}$