Espira

Professor Gabriel S.

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Respondeu há 1 ano

É totalmente compreensível a dificuldade nesse exercício. Acho que faltou mesmo uma figura pois o enunciado é quase indecifrável. Vamos tentar ir com calma, uma grandeza vetorial por vez.

Primeiro, vamos calcular o campo do fio retilíneo usando a Lei de Ampère (que é bem fácil):

Observe que ela informa que existe uma relação de proporcionalidade entre a integral de linha do campo em um circuito fictício C e a corrente envolvida por esse circuito, dada pela permeabilidade magnética do material, que vamos assumir como sendo o ar.

Olhando pela primeira vez pode parecer complicada, mas as condições especiais oferecidas pela Lei de Ampère facilitam muito a resolução dessa integral. Primeiro, admitimos que o campo é paralelo ao circuito, de forma que

Integrar o lado esquerdo da equação agora fica trivial, pois conhecemos o formato do circuito fictício (e sempre usamos um círculo, a menos que o condutor não se encaixe perfeitamente nele). O próximo passo é determinar a dependência da densidade de campo magnético  com o elemento de comprimento . Observe as linhas de campo na figura a seguir.

Como estão igualmente espaçadas em torno do condutor. Isto significa que a densidade de campo não varia com o caminho e que podemos remover da integral de linha. Assim:

Lembrando que a corrente do condutor retilíneo é . Finalmente, se igualamos os dois lados, obtemos:

Vamos chamar esse resultado de para não confundir com o campo gerado pela espira. A direção do campo, como determinada pela mão direita, pertence ao plano que é perpendicular ao fio. Se o fio está saindo (ou entrando) da folha, então pertence ao plano da folha no sentido anti-horário (ou horário).

Para calcular o campo magnético do segundo condutor, temos uma dificuldade adicional. Observe a figura abaixo e tente imaginar como as linhas de campo se distribuem ao longo do condutor. Usando a regra da mão direita com o polegar no sentido da corrente, podemos determinar que o campo está entrando na folha do lado esquerdo e saindo do lado direito. O fluxo deve ser sempre constante, já que tudo que entra tem que sair, mas a área por onde o campo se espalha é maior do lado esquerdo que do lado direito. Isso implica que a densidade diminui na esquerda, conforme entra no plano da folha, e aumenta na direita, conforme sai. Como a densidade de campo não é constante, dizemos que não existe simetria no problema, e o circuito de Ampère não pode ser utilizado.

Dessa forma, precisamos recorrer a outro artifício para calcular a densidade de campo, a Lei de Biot-Savart. A Lei de Biot-Savart pode ser expressa da seguinte forma:

O que significa que o elemento de densidade de campo varia linearmente com o produto vetorial do vetor caminho de corrente com o vetor posição . Lembrando que a corrente do condutor em arco é . Como nós já sabemos calcular o campo de um condutor retilíneo, eu vou optar por ignorar a influência dos segmentos fora do arco. Em todos os pontos de BC, , e o produto vetorial fica igual a . Integrando dos dois lados, encontramos:

Mas o comprimento infinitesimal do arco é

E vamos chamar esse resultado de

Para saber qual seria o campo de uma espira circular, basta substituir :

Agora que temos os dois campos calculados, podemos determinar a força sobre o arco (ou espira). A força que uma densidade de campo qualquer provoca em um condutor qualquer é:  

Sabemos que o plano da espira é normal ao fio, portanto, o campo magnético gerado pelo fio está na mesma direção do condutor, digamos, o plano da folha como na figura acima. O produto vetorial da equação da força resulta em zero, porque ambos os vetores são paralelos.

Por outro lado, temos a força que a espira provoca no fio retilíneo, dada pela mesma expressão. O vetor densidade de campo provocado pela espira está numa direção normal ao plano da folha, ou seja, a mesma direção do fio retilíneo. O resultado desse produto vetorial também é zero. Como o torque depende de ambas as forças, nosso torque deve ser zero para essa disposição de condutores. 

Vamos tentar ver isso de outra forma: se o condutor retilíneo estiver disposto em um plano paralelo à folha, as linhas de campo do fio devem cruzar a espira perpendicularmente, assim como as linhas de campo da espira devem cruzar o fio retilíneo perpendicularmente. Desse modo, ambos os produtos vetoriais são iguais a 1. Chamando a força que o campo da espira exerce sobre o condutor retilíneo de e a força que o campo do fio exerce sobre a espira de temos: 

e

Pegando primeiro a integral da espira sobre o condutor, vamos integrar de R a -R, onde o campo é mais forte:

Tem-se que a força da espira sobre o fio retilíneo é:

Usando a regra da mão direita, podemos determinar a direção dessa força como sendo paralela ao plano e perpendicular ao condutor retilíneo no sentido que se aproxima do observador. O torque que essa força produz equivale ao produto vetorial de pelo braço , contudo, como a corrente só tem um sentido, a soma dos torques nas extremidades do fio sobre a espira se anulam. Ou seja, o fio não se move. Agora, se colocássemos uma extremidade do fio sobre o centro da espira, poderíamos observar um fenômeno diferente. A corrente, não muda de sentido, mas o campo magnético, sim. Fora da espira, ele está entrando na folha, e isso implica que a força deve ter sentido oposto nessa extremidade. O torque sobre o fio nesse caso será: . Como a força no interior da espira aponta para perto, a força fora da espira deve apontar para longe, fazendo o fio girar no sentido horário, com torque entrando da folha.

Por fim, temos que fazer a mesma coisa com a força que o campo do condutor exerce sobre a espira. 

Lembrando que: e , r sendo a distância do fio retilíneo, e não mais a coordenada de raio. 

Para determinar a integral de comprimento da espira fazemos:

Novamente, podemos imaginar o campo magnético do fio retilíneo entrando na folha pelo lado mais afastado e saindo pelo lado mais próximo. Do lado mais afastado, a corrente está mudando de direção no sentido anti-horário e a força sobre a espira aponta para direita, variando de direção na mesma taxa. Do lado mais próximo, a corrente se torna perpendicular ao fio e continua girando no mesmo sentido, apontando agora na direção oposta ao lado anterior e a força continua na mesma direção, já que o campo também mudou e as duas oposições se cancelam. O módulo do torque dos dois lados se anula e a força arrasta a espira para a direita.

Acho que era isso que o exercício pedia, pelo menos a parte do torque no fio. Considere o torque na espira como um extra. Estranhamente, a geometria que ele ofereceu deu um torque nulo, e eu precisei improvisar. As integrais de força não estão 100%, os limites podem precisar de uma revisão. Não entendi muito bem a parte do ponto médio da espira, mas acho que era apenas colocá-la na perpendicular, e vimos como isso não funciona devido à sucessão de produtos vetoriais. Se eu tiver entendido alguma coisa errada pode comentar que eu refaço. Com mais tempo, podemos até pesquisar a solução na literatura.