Massa e volume

Professor Nicholas M.

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Respondeu há 6 anos

Olá, Walnez.

Inicialmente já vemos que a bola 1 está entre óleo e ar. Como o empuxo é igual ao peso da massa de fluido deslocado, temos que descobrir o volume das bolas.

Temos então que os Raios r₁ e r₂ são iguais a 15cm (diâmetro de 30 cm, imagine uma régua). Com isso já podemos definir o volume e a massa da Bola 1 (Mergulhada no óleo)

Sendo o volume V_bola = (4/3)*π*r³ -> V=4/3*π*15³= 14.137 10³ cm³ (ou 14,137 dm³ = 14,137 L)
Com apenas metade mergulhada, o volume deslocado de óleo é V_deslocado = V_bola / 2
V_deslocado = 14.137 / 2 = 7.069 cm³

Assim, com massa sendo m = d*V, a massa deslocada é de M_deslocada = 0,92 g/cm³ * 7.069 cm³ = 6.503 g (6,50 kg)

Uma vez que o corpo encontra-se em equilíbrio estático, seu peso deve ser igual à força de empuxo, assim

E=P -> M_deslocada*g = M_bola1*g, logo M_deslocada = M_bola1 = 6.503 g
Portando sua densidade
d_bola1 = M_bola1/V_bola1 = 6.503/14.137 = 0,46 g/cm³

Vamos para a Bola 2. A primeira informação é um tanto desconcertante, mas vamos calcular qual é a força de empuxo total sobre a bola, pois depende unicamente dos fluidos envolvidos e não da bola 2, e damos sequência.

Sendo que metade da bola 2 está submersa no óleo, a força de empuxo é equivalente à massa deslocada e encontrada na primeira parte. Assim vamos para a força de empuxo da metade deslocada na água:

A massa de água deslocada é M_{h2o deslocada} = d_água * V_bola / 2 = 1 g/cm³ * 7.069 cm³ = 7.069 g (7,07kg)

Assim sendo, a somatória de forças para o equilíbrio estático é a somatória dos empuxos menos a força peso iguais a 0, assim:

F_{empuxo óleo} + F_{empuxo h20} - P_bola2 = 0
M_{óleo deslocado} * g+ M__{h2o deslocada} *g = M_bola2*g
M_{óleo deslocado} + M_{água deslocada} = M_bola2
M_bola2 = 6.503 + 7.069 = 13.572 g (13,57 kg)

Assim, sua densidade é

d_bola2 = M_bola2 / V_bola = 0,96 g/cm³

longe de ser 6 * d_bola1.... mas poderia acontecer que se a água fosse tão rasa quanto o raio da bola 2, logo os 15 cm, assim sua densidade seria d_bola2=6*0,46 = 2,76 g/cm³ e sua massa M_bola2 = 2,76 * 14.137 = 39.018 g (39,02kg).

Professor Danilo C.

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Respondeu há 6 anos

Os volumes V1 = V2 = (4/3)*pi*r^3 = (4/3)*pi*15^3 = 14,14 . 10³ cm³.

Supondo que a bola 1 esteja ligada de alguma forma física à bola 2 (como por um fio inextensível, por exemplo), temos as seguintes forças:
P1 e P2 (forças peso)
F12 e F21 (forças que uma bola exerce na outra e vice versa)
E1 (empuxo da água na bola 1), E2a (empuxo da água na bola 2), E2o (empuxo do óleo na bola 2)

O equilíbrio na bola 1 é dado por:
P1-E1-F21 = 0
m1 . g - 0,92 . g . 14,14 . 10³/2 - F21 = 0
F21 = g(m1 - 6,5 . 10³)

O equilíbrio na bola 2 é:
P2+F12-E2a-E2o = 0
m2 . g + F12 - 1. g . 14,14 . 10³/2 - 0,92 . g . 14,14 . 10³/2 = 0
g(m2 - 7,07 . 10³ - 6,5 . 10³) + F12 = 0
F12 = -g(m2 - 13,57 . 10³).

Sabendo que d2 = 6 . d1 --> m2 = 6 . m1.
F12 = -g(6. m1 - 13,57 . 10³).

Pela terceira lei de Newton, as intensidades de F12 e F21 serão iguais, logo:
g(m1 - 6,5 . 10³) = -g(6 . m1 - 13,57 . 10³)
m1 - 6,5 . 10³ = -6 . m1 + 13,57 . 10³
7. m1 = 13,57 . 10³ + 6,5 . 10³
m1 = 20,07 . 10³/7

m1 = 2,87 . 10³ g ou 2,87 kg

m2 = 6 . m2 = 6 . 2,87 = 17,22 kg

d1 = 2,87 . 10³ / 14,14 . 10³ = 0,2 g/cm³

d2 = 6. 0,2 = 1,2 g/cm³

Sem um desenho orientando realmente é mais difícil visualizar, mas essa é uma possível solução para o problema atendendo todos os requisitos simultaneamente.