(a) Utilizamos a 1ª Lei da Termodinâmica
ΔE=Q-W
onde, ΔE é a variação da energia interna, Q é o calor e W é o trabalho.
Como neste caso o volume permanece constante, o gás não realiza trabalho (para realizar trabalho ele precisa expandir-se). Assim, temos
ΔE=Q e W=0,0 J
Lembrando da Teoria Cinética dos Gases, sabemos que para um gás monoatômico à baixa pressão temos
E=(3/2)·nRT
com n sendo o número de mol, R a constante dos gases ideais e T a temperatura em Kelvin.
A constante R é igual a 8,31 J/mol·K.
Então,
Q=ΔE=E(final) - E(inicial) = 3/2·nRT(final) - 3/2·nRT(inicial) = 3/2·nRΔT
Colocando os valores na fórmula acima obtemos Q=4,986 J.
(b) Utilizando outra vez a 1ª Lei da Termodinâmica e isolando a variável Q temos
Q=ΔE+W
Neste caso, como o gás pode aumentar de volume, ele realiza trabalho.
Da Teoria Cinética dos Gases sabemos que
pV=nRT
onde p é a pressão absoluta do gás e V é seu volume naquela pressão. Os demais termos são aqueles já conhecidos.
Também neste caso sabemos que a pressão é mantida constante, assim, podemos utilizar a seguinte relação
W=pΔV (o trabalho de um gás é igual à pressão vezes a variação do seu volume, caso a pressão seja constante.)
Então
W=p(V(final) - V(inicial)) = pV(final) - pV(inicial) = nRT(final) - nRT(inicial) = nRΔT
Substituindo na 1ª Lei da Termodinâmica
Q=3/2·nRΔT + nRΔT = 5/2·nRΔT
Inserindo os valores obtemos Q=8,31 J.
(c) A diferença nos valores é devido ao fato de que, no caso em que o gás se expande, ele precisa receber calor adicional para realizar trabalho além de aumentar sua temperatura.
(d) Para um gás ideal, sendo este um caso, a variação da energia interna depende apenas da temperatura.
Os diagramas pV (Pressão como função do Volume), colocamos duas isotérmicas representando as temperaturas de 300 K e 340 K e traçamos um caminho de uma isotérmica para a outra, mantendo o valor do volume constante no primeiro caso, o qual será uma reta vertical; e mantendo a pressão constante no segundo caso, o qual será uma reta horizontal.
Será que você ainda tem essa dúvida?
Se tiver, me procure para uma aula particular. Sou uma excelente professora.
### Parte (a): Calor necessário para aumentar a temperatura com volume constante
Para calcular o calor necessário para aumentar a temperatura de 300 K para 340 K com volume constante, usamos a capacidade calorífica molar a volume constante (\(C_V\)) para o hélio.
O hélio é um gás monoatômico, então \(C_V = \frac{3}{2}R\), onde \(R\) é a constante dos gases ideais (8,314 J/(mol·K)).
\[
C_V = \frac{3}{2} \times 8,314 \text{ J/(mol·K)} = 12,471 \text{ J/(mol·K)}
\]
A quantidade de calor (\(Q\)) necessária é dada pela fórmula:
\[
Q = nC_V\Delta T
\]
onde:
- \(n = 0,0100\) mol
- \(\Delta T = 340 \text{ K} - 300 \text{ K} = 40 \text{ K}\)
Substituindo os valores:
\[
Q = 0,0100 \text{ mol} \times 12,471 \text{ J/(mol·K)} \times 40 \text{ K}
\]
\[
Q = 0,0100 \times 12,471 \times 40
\]
\[
Q = 4,9884 \text{ J}
\]
### Diagrama PV para processo a volume constante
O diagrama PV para um processo a volume constante é uma linha vertical, pois o volume não muda enquanto a pressão aumenta.
### Parte (b): Calor necessário para aumentar a temperatura com pressão constante
Para calcular o calor necessário para aumentar a temperatura de 300 K para 340 K com pressão constante, usamos a capacidade calorífica molar a pressão constante (\(C_P\)) para o hélio.
Para um gás monoatômico, \(C_P = \frac{5}{2}R\):
\[
C_P = \frac{5}{2} \times 8,314 \text{ J/(mol·K)} = 20,785 \text{ J/(mol·K)}
\]
A quantidade de calor (\(Q\)) necessária é dada por:
\[
Q = nC_P\Delta T
\]
Substituindo os valores:
\[
Q = 0,0100 \text{ mol} \times 20,785 \text{ J/(mol·K)} \times 40 \text{ K}
\]
\[
Q = 0,0100 \times 20,785 \times 40
\]
\[
Q = 8,314 \text{ J}
\]
### Diagrama PV para processo a pressão constante
O diagrama PV para um processo a pressão constante é uma linha horizontal, pois a pressão não muda enquanto o volume aumenta.
### Parte (c): Fator responsável pela diferença e calor adicional
O fator responsável pela diferença no calor necessário é a realização de trabalho pelo gás no caso de pressão constante. Quando a pressão é constante, o gás se expande, fazendo trabalho sobre o ambiente.
O calor necessário é maior no caso de pressão constante (\(Q = 8,314 \text{ J}\)) do que no caso de volume constante (\(Q = 4,9884 \text{ J}\)).
O calor adicional no caso de pressão constante é utilizado para realizar trabalho de expansão.
### Parte (d): Variação da energia interna
A variação da energia interna (\(\Delta U\)) de um gás ideal depende apenas da temperatura e não do processo:
\[
\Delta U = nC_V\Delta T
\]
Já calculamos \(nC_V\Delta T\) na parte (a):
\[
\Delta U = 4,9884 \text{ J}
\]
A variação da energia interna é a mesma para ambos os processos (volume constante e pressão constante) porque a temperatura final e inicial são as mesmas.
### Comparação das respostas
A variação da energia interna é a mesma para ambos os casos porque a energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura. A diferença no calor fornecido entre os dois processos se deve ao trabalho realizado pelo gás no caso de pressão constante.
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