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Question

O vetor posi&ccedil;&atilde;o r=rx^x+ry^y+rz^z &eacute; o vetor no espa&ccedil;o que aponta da origem do sistema (0,0,0) at&eacute; um ponto arbitr&aacute;rio cujas coordenadas s&atilde;o (x,y,z). Usando os estudos de vetores, prove que todos os pontos (x,y,z) que satisfazem a equa&ccedil;&atilde;o Ax+By+Cz=0, em que A,B e C s&atilde;o constantes, est&atilde;o situados em um plano que passa na origem e &eacute; perpendicular ao vetor A^x+B^y+C^z.

Marcos F. · Answer

Boa noite Lucas.  Seja o vetor u = (P - O) , onde P(x,y,z) e O é a origem (0,0,0) . Então u= (x,y,z)T  Como P pertence ao plano Pi, os valores x,y e z são tais que Ax+By+Cz=0 (dado do enunciado).  Seja o vetor v=(A,B,C)T  (também dado do enunciado)  Se o produto escalar de qualquer vetor que sai da origem e vai a um ponto do plano Pi (o vetor u é um representante destes vetores) e do vetor v for nulo,, estes vetores são perpendiculares, pois (u,v) = u.v.cos(teta), sendo teta o ângulo entre dois vetores, pois cos(90o)=0.  Vejamos  (u,v)= x.A+y.B+z.C . Pela propriedade comutativa da multiplicação, (u,v)= Ax+By+Cz, que o enunciado define com sendo igual a zero.  Sendo assim, u e  v são perpendiculares, e , por consequência, o plano Pi é perpendicular a v, pois o vetor u gera qualquer ponto do plano Pi.      Espero ter ajudado.   Prof. Marcos Fattibene

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