PROBLEMA(SOLUÇÃO)

Question

Suponha uma barra formada por uma liga metálica, fina e longa, de comprimento L0 e coeficiente de dilatação linear ∝ = 0.2 K^-1, submetida à uma variação de temperatura ΔT. a) Sabendo que V = L^3 e que (V+ ΔV) = (L+ ΔL)^3, utilize o binômio de Newton para mostrar a aproximação (V+ ΔV) ≈ V + 3V(ΔL/L), em que ΔL é uma variação infinitesimal de L. Em que o Binômio de Newton é dado
por:

(x+y)^n=∑ⁿ_k=0 n!/k!(n-k)!.x^n-k.y^-k

Fernando Z. · Answer

Olá Fernanda. Por notação, seja Delta_L = A (facilita digitar). Binômio de Newton: (L + A)^3 = L^3 + 3*L^2*A + 3*L*A^2 + A^3 Como estamos lidando com A << 1, (diferencial infinitesimal), serei pouco elegante em dizer que termos da ordem O(A^2) são iguais a zero, i.e, A^2 -> 0 e A^3 -> 0. Restando que (V + Delta_V) ^3 = (L + A)^3 = L^3 + 3*L^2*A; Sabemos que V = L^3, e devemos fazer aparecer outro V multiplicando o 3 e dividindo por um L Então: (V + Delta_V) ^3 = L^3 + 3*L^2*A = V + 3*L^2*A* (L/L); (L/L) = 1, não altera o termo e permite chegar onde é desejado (V + Delta_V) ^3 = V + 3*L^2*L*(A/L) = V + 3 * L^3 * (A/L) = V + 3 * V * (A * L). ===== OBS: Os coeficientes no binômio de Newton saem do Triângulo de Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 <- Esta linha contém os coeficientes usados.

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