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Observe o desenho anexo.
https://profes.com.br/arquivos/joaoguedes/hemisferio/
Chamaremos o angulo de Teta =T, para facilitar a digitacao,
Quando a esfera rola e está a um angulo teta (entre a linha que une a esfera e o centro do hemisferio e a linha vertical), temos as decomposoições das forças atuantes:
O peso mg se decompoe nas componentes mg.cosT(que empurra a esfera para o centro do hemisferio) e mg.senT que acelera a esfera na direcao perpendicular ao raio do hemisferio. Com a trajetoria circular temos uma força centrifuga mV2/R que empurra a esfera na direção radial para fora. Na direção da forca centrifuga ainda teríamos a forca normal N de contacto com a superficie, porem no momento em que a esfera sai da superficie (decola), esta força é zero pois nao existe mais contacto, portanto nao desenhamos esta força.
No momento exato que a esfera decola (perde contacto com hemisferio) temos um equilibrio de forças na direcao radial;
mg.cosT= mV2/R (equaçao 1)
onde as variaveis desconhecidas sao angulo T e velocidade V.
a segunda equacao obtemos, observando a conservação de energia no momento que a esfera decola:
Como nao temos forças dissipativas a energia se conserva,
Energia inicial (com a esfera na parte mais alta e parada) = Energia no momento da decolagem (com a esfera na posicao do desenho com angulo teta)
Energia Potencial Inicial + Energia Cinetica inicial = Energia Potencial (na decolagem) + Energia Cinetica (na decolagem)
mgR+Zero = mg.R.cosT+ (1/2) mV2+(1/2)I.w2
Veja que a energia cinetica do lado direto da equacao, tem duas componenetes, uma de translacao ((1/2) mV2) e uma de rotação ((1/2)I.w2 ), pois a esfera rola. Alem disto no lado direito da equaçao esta somado a energia potencial na posição no momento da decolagem ( mg.R.cosT)
I = momento de inercia da esfera em relacao ao seu eixo do centro de massa
w = velocidade angular de rotacao da esfera em torno do eixo de centro de massa
Entao a esfera translada e roda simultaneamente.
Como nao ha deslizamento o rolamento é sincronizado com a translação do centro de massa, temos
w.b= V, entao w = V/b , podemos substituir na equação anterior para eliminar w (velocidade angular da esfera),
ficamos
mgR = mg.R.cosT+ (1/2) mV2+(1/2)I.(V/b)2
como I é conhecido para uma esfera maciça de massa m e raio b, ele vale I=2/5 m.b2
substituindo I na equacao anterior temos:
mgR = mg.R.cosT+ (1/2) mV2+(1/2)(2/5).mb2.(V/b)2
ou simplificando,
mgR = mg.R.cosT+ (1/2) mV2+(1/5).m.(V)2
mgR = mg.R.cosT+ (7/10) mV2 (equação 2), onde as incognitas sao velocidade V e angulo T (Teta).
agora so resolver o conjunto de 2 equaçoes, com duas incognitas,
da equacao 1, temos que
mgRCosT = mV2
Substituindo na equaçao 2 temos,
mgR = mV2+ (7/10) mV2
ou mgR = (17/10) mV2
entao mV2= (10/17).mgR
substituindo na equação 1 temos,
mg.cosT= mV2/R = 10/17mg
cortando mg de ambos os lados temos
cosT= 10/17 entao,
T = cos-1(10/17) = 54 graus (aproximadamente), entao a esfera decola quando o angulo Teta for de 54 graus.
para calcular a velocidade usamos a equação acima
mgR = (17/10) mV2
cortando m de ambos os lados temos
gR = (17/10) V2
V2 = (10/17) gR
V = , esta é a velocidade da esfera (do seu centro de massa) no momento que separa do hemisferio.
Abraços
Joao Carlos
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