Por que usamos o "not to" para negar o verbo em vez do: don't. Exemplo: She asked me not to say anything. Poderia ser dito: She asked me don't say anything.

Hi,, Valter.
How are you? I wish you be well.
Let's study!

Primeiramente, em Inglês, como em português, nos temos as conjugações dos verbos, entretanto, essas variações são bem mais fáceis na Língua Inglesa, são apenas três, enquanto no português temos em torno de 66 (Indicativo, Subjuntivo, Imperativo) delas. Essas mudanças acontecem com os verbos em uma expressão simples e com o primeiro na composta. Vamos facilitar com um exemplo no presente:

Português English
Simples - Eu como chocolate. I eat chocolate.
Composta - Eu gosto de comer chocolate. I like to eat chocolate.

Note que em português o segundo verbo aparece no infinitivo (terminado em ar, er, ir, or). Em Inglês isso ocorre com a presença do "TO" na frente do verbo. Vamos a negativa da composta:

Affirmative Negative
I like to eat chocolate. I don't like to eat chocolate.

Agora, se trocarmos o "DON'T" de lugar, e pô-lo na frente do "EAT", ficaria mais ou menos assim:
English Português
I like don't eat chocolate. I gosto não como chocolate.

Separemos agora o segundo verbo, com o complemento:
Affirmative Negative
Eat chocolate Don't eat chocolate.

Perceba que o "DON'T" sempre ocorre com o verbo principal, que é o que flexiona e, no ultimo exemplo, porque se trata de um imperativo, ou seja, uma expressão de ordem, alerta, cujo verbo também flexiona.

Voltemos à sua frase:
She asked me not to say anything.

Neste caso, o segundo verbo da sentença está no infinitivo e, conforme explicado acima, não posso usar o "DON'T", entretanto, a expressão requer uma negativação, pois é um pedido para que não se fale nada. Assim, usamos o not à frente do verbo no infinitivo (TO+verb) para dar à frase o sentido desejado.

Agora, em caso fosse uma narrativa e com a devida pontuação estaria correta:
She asked me: don't say anything.

Isto porque o verto "TO SAY" estaria no Imperativo, assim, flexionando.

Espero ter podido ajudar-lhe.

Um grande abraço e que tenha dias maravilhosos.

Jurandir

Olá,!

 Entenda que  duas formas negam as orações. A diferença é apenas na tradução.

Exemplo:  Don't do this (Não faça isso).

Not to do this (Para não fazer isso)

Sucesso!

Vejo que sua dúvida já foi respondida. Caso queira ou precise de aulas voltadas para conversação, entre no meu perfil.

EValter, ambas as orações estão na negativa, conseguimos entender a diferença na tradução:

Exemplo:  Don't do this (Não faça isso).

Not to do this (Para não fazer isso)