A transformação linear t é injetora?

Matemática Álgebra

O núcleo de uma transformação linear  é dado por:  N(T) = { X V; T(X) = 0 onde 0 representa o elemento nulo de W }
Dizemos que uma transformação linear é injetora se N(T) = 0 ou seja, o elemento nulo de V é o único elemento pertencente ao núcleo de T Outras vezes, necessitamos identificar o conjunto imagem da transformação linear  T que é dada pelo conjunto:


Considere a transformação linear 

 dada por T(x,y) = (x - 2y, x + y)

A transformação linear T é injetora?
Dado um ponto qualquer  existe  tal que 

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Roger perguntou há 3 anos

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Professor Alberto R.
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Respondeu há 3 anos

T(x,y) = (x - 2y, x + y)

A transformação linear T é injetora?

x-2y=0

x+y=0

 

Subtraindo as equações:

x-x-2y-y=0

-3y=0

y=0

Assim

x+y=0

x+0=0

x=0

A solução (x,y)=(0,0) é única, assim a transformação é injetora.

 

Dado um ponto qualquer  existe  tal que 

Sim. Motivo:

x-2y=a

x+y=b

Dado que a transformação é injetora, o sistema terá sempre solução (que será única), assim teremos (x,y) associado a (a,b) para qualquer (a,b). Mas podemos resolver o sistema para enxergar melhor

Subtraindo as equações

x-x-2y-y=a-b

-3y=a-b

Assim:

x+y=b

Sempre teremos a solução

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