Agradeço ao Prof Renato e Prof. André. Qual seria um exemplo em que A U { } seja diferente de A ?

Acho que sua dúvida ainda reside na questão do "se, e somente se". O exercício é assim: temos uma asserção no enunciado (vamos chamá-la de asserção X), A U B = A e temos que encontrar uma asserção entre as alternativas (vamos chamá-la de Y) TAL QUE a seguinte asserção é verdadeira: X <=> Y. Isso é, X é verdade se, e só se Y é verdade. Em outras palavras, X implica Y e Y implica X. A dificuldade desse exercício é que para algumas alternativas, temos Y => X mas sem valer X => Y. Por exemplo, o caso que você comentou que B = {} (letra e) Y: B = {} X: A U B = A Como você percebeu, A U {} = A, independente de qual conjunto A seja! O problema é que A U B = A pode ser verdade para B não-vazio. A única opção para Y que faz com que X <=> Y é a alternativa c. Isso é, independente de quais sejam A e B: Se B está contido em A, então A U B = A E TAMBÉM, se A U B = A, então B está contido em A. Os exemplos que o professor André deu ajudam a nos convencer disso. Mas um bom exercício é você mesmo tentar montar conjuntos A e B que furem esse raciocínio. Espero que tenhamos ajudado um pouco. Abraço!

Olá Petronio.

Não existe situação alguma onde A U { } seja diferente de A, pois se eu não acrescentar nada em A, continuarei tendo todos os elementos do conjunto A.

Este problema tem 3 situações: 

1 - OU foi muito mal feito (Não acredito que seja isto, apesar de ter dito na primeira vez, revi meu conceito e retiro o que disse)

2 - OU foi muito bem feito (É o que passei a acreditar com a revisão de conceito, neste caso, teríamos apenas C como resposta)

3 - OU admite mais de uma alternativa como resposta correta (Neste caso, A, C e E)

Quando respondi a 1ª vez, respondi o que nós matemáticos chamamos de caso GERAL, ou seja, será sempre verdade. Neste caso, alternativa C.

Não sei se ficou claro, mas a alternativa C contém as outras duas situações

A = B (alternativa A)

B = { } (alternativa E)

Vou tentar explicar o que afirmo acima com uma lista de exemplos.

A alternativa C contém infinitos outros casos, segue alguns exemplos:

1 -> A = {1, 2, 3} ; B = {1, 2}
2 -> A = {2, 4, 6, 8, 10} ; B = {4, 6, 8}
3 -> A = {1, 2, 3, 4, 5} = B (Alternativa A)
4 -> A = {2, 3, 4, 5} ; B = {} (Alternativa E)
5 -> A = {1, 3, 5, 7, 9} ; B = {3, 5, 7}
6 -> A = {1, 2, 3, 4, 5, a , e, i, o, u} ; B = {1, 3, 5, b, d}
7 -> A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, v, w, x, y, z} ; B = {2, 3, 5, 7, v, w, x}

Em todos estes exemplos A U B = A e temos uma condição que sempre é satisfeita: "B estar contido em A", por isso que digo que a alternativa C resolve o caso geral, do "se e somente se".

Perceba que a alternativa C contém as informações

da alternativa A, pois se B esta contido em A podemos ter B igual a A;

da alternativa E, pois o conjunto VAZIO é subconjunto de todo conjunto.

A única coisa que precisaríamos saber é que o VAZIO é subconjunto de QUALQUER conjunto NÃO VAZIO (ou mesmo VAZIO, pois seria ele mesmo), portanto está contido em todo conjunto.

Conclusão:

Se estamos no caso 1 (exercício mal feito), não temos apenas uma resposta que torna o exercício verdadeiro. No caso 2, que envolve toda prudência matemática do "se e somente se", a alternativa C é a correta. No caso 3, teremos 3 alternativas possíveis (A, C e E).

Espero ter esclarecido suas dúvidas.

Abraço.