Álgebra abstrata!

Olá Nesse exercício vamos estudar a imagem direta e inversa de uma função modular f(x) = |x| Para calculamos f(ponto), temos que colocar no lugar do x o ponto indicado. É assim que funciona uma função por definição. a) f(1) = |1| = 1 (pois módulo de um número positivo dá ele mesmo por definição) b) f(-3) = |-3| = -(-3) = 3 (pois módulo de um número negativo dá menos ele por definição) Usamos regra de sinais: menos com menos dá mais c) f(1-V2) = |1-V2| Vamos ver se esse número dentro do módulo é positivo ou negativo. Com efeito: 1-V2 é aproximadamente igual a 1-1,4 < 0 Logo: f(1-V2) = |1-V2| = -(1-V2) = -1+V2 = V2 - 1 d) f([-1,1]) = Observe que essa é a imagem direta que por definição é o conjunto das imagens f(x), tais que x mora nesse intervalo [-1,1] Logo: f([-1,1]) = {|x| : x E [-1,1]} Para calcular, substituimos os valores possíveis para x: |-1| = 1, |0| = 0 e |1| = 1 Como se trata de um intervalo, temos: f([-1,1]) = [-1,1] (pois qualquer número que colocarmos no lugar do x, o módulo vai morar nesse intervalo, observe os extremos) e) f(]-1,2]) = {|x| : x E ]-1,2]} Calcuando os extremos: |-1|=1 e |2|=2. Logo: f(]-1,2]) = ]-1,2] (Observe que -1 não entra no intervalo) f) f(IR) = {|x| : x E IR} = IR Pois todo número real admite módulo, pois o domínio da função modular é o conjunto dos números reais todo g) f^-1([0,3]) Por definição são os valores de x reais tais que f(x) mora em [0,3]. Então temos: f^-1([0,3]) = {x E IR : 0 <= |x| <= 3} Observe que teremos q resolver essa inequação modular. Para isso, vamos resolver uma por uma. Primeiro: 1) |x| >=0 Pela propriedade de desigualdade modular, devemos ter x<=0 ou x>=0 ou seja x E IR 2) |x| <= 3 Pela propriedade,vem: -3 <= x <= 3 Fazendo a intersecção, vem: x E IR -3 <= x <= 3 ---------------------> IR -- -3-----------3---> Portanto: f^-1([0,3]) = [-3,3] h) f^1([-1,3]) = {x E IR : -1 <= |x| <=3} Sugiro que tente fazer esse com base no anterior. i) f^-1(IR*) = {x E IR : |x| E IR*} Lembre-se que IR* = IR \ {0} Então, para que módulo de x esteja na reta sem ter o zero, como o domínio de |x| é IR, segue que: f^-1(IR*) = IR* Espero ter ajudado!