Álgebra linear / 05-10-2020

Matemática Ensino Médio ENEM Álgebra Resolução de problemas Funções Trigonometria Concursos Ensino Superior Geral Técnico

Estou tentando fazer esse exercício, mas não consigo chegar de maneira alguma, na solução, alguém pode fazer, pfv!

1º)
determine M pertence a R, de moda que o sistema s, {x+y+z=0 ; x-y+mz=2 ; mx+2y+z=1}

a)seja possível e determinado 
b) seja possível e indeterminado 

2º)
verfique se W c V é subespaço vetorial de V, nos casos: 

a) W c  Mn(R), W= {A pertence Mn(R)./ A é anti-ssimétrica}

b)W c R³, W={(x,y,z) pertence R³ / ax+by+cz=0}

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Fernando perguntou há 3 anos

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Professor David C.
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Respondeu há 3 anos

1º) Determine m pertence a R, de moda que o sistema

x+y+z=0

x-y+mz=2

mx+2y+z=1

a) seja possível e determinado 

Solução.

Considere a matriz de coeficientes A:

1    1   1

1   -1  m

m   2   1

Calculamos o determinante da matriz de coeficientes:

det(A) = 1(-1-2m) - 1(1-2) + m(m+1)

det(A) = -1 -2m +1 +m2 + m = m2 - m = m(m-1)

Se det(A) é diferente de zero, então o sistema tem solução e é unica (ou seja é possível e determinado)

m(m-1) diferente de 0   ->    m diferente de 0  e m diferente de -1

Logo, se m é diferente de 0 e -1, então o sistema é possível e determinado.

 


b) seja possível e indeterminado 

Solução.

Considere a matriz de coeficientes A:

1    1   1

1   -1  m

m   2   1

Calculamos o determinante da matriz de coeficientes:

det(A) = 1(-1-2m) - 1(1-2) + m(m+1)

det(A) = -1 -2m +1 +m2 + m = m2 - m = m(m-1)

Se det(A) = 0 e o posto da matriz A e da matriz A|b, onde b é

0

2

1

então o sistema é possível e indeterminado

m(m-1) = 0   ->    m = 0  ou m = -1

  • Se m = 0, então A:

1  1   1

1 -1  0

0  2   1

-------- F2 = F2 - F1

1  1   1

0 -2  -1

0  2   1

-------- F3 = F3 + F2

1  1   1

0 -2  -1

0  0   0

Logo a matriz A tem posto igual a 2. Por outro lado, a matriz A|b

1  1   1 |  0

1 -1  0  |  2

0  2   1  | 1

---------- F2 = F2 - F1

1  1   1   |  0

0 -2  -1  |  2

0  2   1   | 1

---------- F3 = F3 + F2

1  1   1   |  0

0 -2  -1  |  2

0  0   0   | 3

Logo a matriz A|b tem posto igual a 3, portanto o sistema não é possível e indeterminado.

  • Se m = 1, então A:

1  1   1

1 -1  1

1  2   1

-------- F2 = F2 - F1; F3 = F3 - F1

1  1   1

0 -2  0

0  1   0

-------- F2 = F2 + 2F3

1  1   1

0  0   0

0  1   0

-------- F2 <-> F3

1  1   1

0  1   0

0  0   0

Logo a matriz A tem posto igual a 2. Por outro lado, a matriz A|b

1  1   1 |  0

1 -1  1  |  2

1  2   1  | 1

---------- F2 = F2 - F1; F3 = F3 - F1

1  1   1 |  0

0 -2  0  |  2

0  1   0  | 1

---------- F2 = F2 + 2F3

1  1   1 |  0

0  0  0  |  4

0  1   0  | 1

---------- F2 <-> F3

1  1   1 |  0

0  1  0  |  1

0  0  0  | 4

Logo a matriz A|b tem posto igual a 3, portanto o sistema não é possível e indeterminado.

 

Finalmente, não existem valores de m tais que o sistema seja possível e indeterminado.

 

2º) Verfique se W c V é subespaço vetorial de V, nos casos: 

a) W c  Mn(R), W= {A pertence Mn(R)./ A é anti-ssimétrica}

Solução.

Claramente a matriz nula 0 está em W, dado que 0T = 0 = - 0

Sejam A, B en W e seja k em R:

(A + k B)T = AT + (k B)T = (-A) +  k(BT) = -A + k (-B) = -A - k B = - (A + k B)

Portanto, A + kB está em W e W é um subespaço vetorial de V.

 

b)W c R³, W={(x,y,z) pertence R³ / ax+by+cz=0}

Solução.

Claramente o vetor nulo 0 = (0,0,0) está em W, dado que a(0) + b(0) + c(0) = 0

Sejam P=(p1,p2,p3), Q=(q1,q2,q3) en W e seja k em R:

R = (r1,r2,r3) = P + k Q = (p1,p2,p3) + k(q1,q2,q3) = (p1,p2,p3) + (kq1,kq2,kq3)  = (p1+kq1, p2 + kq2, p3 + kq3)

Logo:

a(r1) + b(r2) + c(r3) = a(p1+kq1) +  b(p2 + kq2) + c(p3 + kq3)

a(r1) + b(r2) + c(r3) = ap1 + akq1 + bp2 + bkq2 + cp3 + ckq3

a(r1) + b(r2) + c(r3) = (ap1 + bp2 + cp3)+ (akq1 + bkq2 + ckq3)

a(r1) + b(r2) + c(r3) = (0)+ k(aq1 + bq2 + cq3) = 0 + k(aq1 + bq2 + cq3)

a(r1) + b(r2) + c(r3) = k(0) = 0

Portanto, R = P + k Q está em W e W é um subespaço vetorial de V.

 

Para mais informação:
asesor.matematica.1990@gmail.com
Whatsapp: (11) 994414817

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