Estou tentando fazer esse exercício, mas não consigo chegar de maneira alguma, na solução, alguém pode fazer, pfv!
1º)
determine M pertence a R, de moda que o sistema s, {x+y+z=0 ; x-y+mz=2 ; mx+2y+z=1}
a)seja possível e determinado
b) seja possível e indeterminado
2º)
verfique se W c V é subespaço vetorial de V, nos casos:
a) W c Mn(R), W= {A pertence Mn(R)./ A é anti-ssimétrica}
b)W c R³, W={(x,y,z) pertence R³ / ax+by+cz=0}
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1º) Determine m pertence a R, de moda que o sistema
x+y+z=0
x-y+mz=2
mx+2y+z=1
a) seja possível e determinado
Solução.
Considere a matriz de coeficientes A:
1 1 1
1 -1 m
m 2 1
Calculamos o determinante da matriz de coeficientes:
det(A) = 1(-1-2m) - 1(1-2) + m(m+1)
det(A) = -1 -2m +1 +m2 + m = m2 - m = m(m-1)
Se det(A) é diferente de zero, então o sistema tem solução e é unica (ou seja é possível e determinado)
m(m-1) diferente de 0 -> m diferente de 0 e m diferente de -1
Logo, se m é diferente de 0 e -1, então o sistema é possível e determinado.
b) seja possível e indeterminado
Solução.
Considere a matriz de coeficientes A:
1 1 1
1 -1 m
m 2 1
Calculamos o determinante da matriz de coeficientes:
det(A) = 1(-1-2m) - 1(1-2) + m(m+1)
det(A) = -1 -2m +1 +m2 + m = m2 - m = m(m-1)
Se det(A) = 0 e o posto da matriz A e da matriz A|b, onde b é
0
2
1
então o sistema é possível e indeterminado
m(m-1) = 0 -> m = 0 ou m = -1
1 1 1
1 -1 0
0 2 1
-------- F2 = F2 - F1
1 1 1
0 -2 -1
0 2 1
-------- F3 = F3 + F2
1 1 1
0 -2 -1
0 0 0
Logo a matriz A tem posto igual a 2. Por outro lado, a matriz A|b
1 1 1 | 0
1 -1 0 | 2
0 2 1 | 1
---------- F2 = F2 - F1
1 1 1 | 0
0 -2 -1 | 2
0 2 1 | 1
---------- F3 = F3 + F2
1 1 1 | 0
0 -2 -1 | 2
0 0 0 | 3
Logo a matriz A|b tem posto igual a 3, portanto o sistema não é possível e indeterminado.
1 1 1
1 -1 1
1 2 1
-------- F2 = F2 - F1; F3 = F3 - F1
1 1 1
0 -2 0
0 1 0
-------- F2 = F2 + 2F3
1 1 1
0 0 0
0 1 0
-------- F2 <-> F3
1 1 1
0 1 0
0 0 0
Logo a matriz A tem posto igual a 2. Por outro lado, a matriz A|b
1 1 1 | 0
1 -1 1 | 2
1 2 1 | 1
---------- F2 = F2 - F1; F3 = F3 - F1
1 1 1 | 0
0 -2 0 | 2
0 1 0 | 1
---------- F2 = F2 + 2F3
1 1 1 | 0
0 0 0 | 4
0 1 0 | 1
---------- F2 <-> F3
1 1 1 | 0
0 1 0 | 1
0 0 0 | 4
Logo a matriz A|b tem posto igual a 3, portanto o sistema não é possível e indeterminado.
Finalmente, não existem valores de m tais que o sistema seja possível e indeterminado.
2º) Verfique se W c V é subespaço vetorial de V, nos casos:
a) W c Mn(R), W= {A pertence Mn(R)./ A é anti-ssimétrica}
Solução.
Claramente a matriz nula 0 está em W, dado que 0T = 0 = - 0
Sejam A, B en W e seja k em R:
(A + k B)T = AT + (k B)T = (-A) + k(BT) = -A + k (-B) = -A - k B = - (A + k B)
Portanto, A + kB está em W e W é um subespaço vetorial de V.
b)W c R³, W={(x,y,z) pertence R³ / ax+by+cz=0}
Solução.
Claramente o vetor nulo 0 = (0,0,0) está em W, dado que a(0) + b(0) + c(0) = 0
Sejam P=(p1,p2,p3), Q=(q1,q2,q3) en W e seja k em R:
R = (r1,r2,r3) = P + k Q = (p1,p2,p3) + k(q1,q2,q3) = (p1,p2,p3) + (kq1,kq2,kq3) = (p1+kq1, p2 + kq2, p3 + kq3)
Logo:
a(r1) + b(r2) + c(r3) = a(p1+kq1) + b(p2 + kq2) + c(p3 + kq3)
a(r1) + b(r2) + c(r3) = ap1 + akq1 + bp2 + bkq2 + cp3 + ckq3
a(r1) + b(r2) + c(r3) = (ap1 + bp2 + cp3)+ (akq1 + bkq2 + ckq3)
a(r1) + b(r2) + c(r3) = (0)+ k(aq1 + bq2 + cq3) = 0 + k(aq1 + bq2 + cq3)
a(r1) + b(r2) + c(r3) = k(0) = 0
Portanto, R = P + k Q está em W e W é um subespaço vetorial de V.
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