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Algebra linear 1 e 2

Matemática

Verifique entre os subconjuntos abaixo àqueles que são subespaços vetoriais do R4  a W= {(x,y,z,t) ? R4 |x+y+z=0|} b){(x,y,z,y)?R4 x=-y z=t}  u){(x,y,z,y)?R4 x+y-z=0 t=0} 

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Matheus perguntou há 4 anos

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Professor David C.
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Respondeu há 4 anos

Verifique entre os subconjuntos abaixo àqueles que são subespaços vetoriais do R4 

a)\, W=\{ (x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4 \mid x+y+z=0 \}

b)\, P=\{ (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4\mid x=-y,\, z=t \}

c)\, U = \{ (x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4 \mid x+y-z=0, \, t=0 \}

Solução.

a) De fato: Sejam

A=(x_1,y_1,z_1,t_1),\, B=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in W \subset \mathbb{R}^4;\, \lambda \in \mathbb{R}

Então

A+B=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2,t_1+t_2) \in \mathbb{R}^4

mas

(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=(x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2+z_2)=0

Ou seja

A+B\in W\subset \mathbb{R}^4

Além disso

\lambda A = \lambda (x_1,y_1,z_1,t_1)= (\lambda x_1, \lambda y_1, \lambda z_1, \lambda t_1) \in \mathbb{R}^4

mas

(\lambda x_1) + (\lambda y_1) + (\lambda z_1) = \lambda (x_1+y_1+z_1)= \lambda (0) = 0

ou seja

\lambda A \in W\subset \mathbb{R}^4

Portanto, W é um subespaco vetorial do R4.

 

---------------------------------------------------------------------------------------

 

b) De fato: Sejam

A=(x_1,y_1,z_1,t_1),\, B=(x_2,y_2,z_2,t_2) \in P \subset \mathbb{R}^4; \, \lambda \in \mathbb{R}

Então

A+B=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2,t_1+t_2) \in \mathbb{R}^4

mas

x_1+x_2= (-y_1) + (-y_2) = -(y_1 +y_2)\, \qquad z_1+z_2 = (t_1) + (t_2) = t_1 +t_2

Ou seja

A+B\in P \subset \mathbb{R}^4

Além disso

\lambda A = \lambda (x_1,y_1,z_1,t_1)= (\lambda x_1, \lambda y_1, \lambda z_1, \lambda t_1) \in \mathbb{R}^4

mas

(\lambda x_1) = \lambda (x_1) = \lambda (-y_1) = - (\lambda y_1) \qquad (\lambda z_1) = \lambda (z_1) = \lambda (t_1) = (\lambda t_1)

ou seja

\lambda A\in P \subset \mathbb{R}^4

Portanto, P é um subespaco vetorial do R4.

 

 ---------------------------------------------------------------------------------------

 

c) De fato: Sejam

A=(x_1,y_1,z_1,0),\, B=(x_2,y_2,z_2,0)\in U \subset \mathbb{R}^4;\, \lambda \in \mathbb{R}

Então

A+B=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2,0) \in \mathbb{R}^4

mas

(x_1+x_2)+(y_1+y_2)-(z_1+z_2) = (x_1+y_1-z_1) +(x_2+y_2-z_2)=0+0=0

Ou seja

A+B\in U \subset \mathbb{R}^4

Além disso

\lambda A = \lambda(x_1,y_1,z_1,0)=(\lambda x_1,\lambda y_1, \lambda z_1, 0 ) \in \mathbb{R}^4

mas

(\lambda x_1) + (\lambda y_1) - (\lambda z_1) = \lambda (x_1+y_1-z_1)= \lambda (0) = 0

ou seja

\lambda A \in U \subset \mathbb{R}^4

Portanto, U é um subespaco vetorial do R4.

 

Para mais informação

asesor.matematica.1990@gmail.com

WhatsApp: (11) 994414817

 

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