Seja T: R² -> R² uma transformação linear. Calcule o valor de r+s sabendo que: T(2,3) = (r,s). lambda¹ = 6 é autovalor de T associado a v¹= (1,-1). lambda²=9 é autovalor de T associado a v²= (0,6). A resposta é 9 mas não tô conseguindo chegar nelade maneira clara. se alguém poder ajudar por favor
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Se L1 = 6 é o autovalor de v1 = (1,-1) e L2 = 9 é o autovalor associado a v2 = (0,6), isso significa que a matriz da transformação T, na base B = {(1,-1), (0,6)} é uma matriz diagonal com L1 e L2 seus elementos da diagonal principal. Considere C = {(1,0), (0,1)}} a base canônica de R2.
Se T(2,3) = (r,s), isso é o mesmo que dizer que [T]C.(2,3)C = (r,s), onde [T]C é a matriz de T na base canônica C, porém conhecemos [T]B, a matriz de T na base B. Para encontrarmos [T]C, precisamos das matrizes de mudança de base: (1) da base B, para a base canônica C - que denotaremos por [M]B->C; (2) e da base canônica C, para a base B - que denotaremos por [M]C->B.
Porém, conhecemos apenas a matriz [M]B->C, que é a mudança da base B para a base canônica, pois para calcular esta, basta colocar os vetores da base B como colunas da matriz. Daí, para calculamos [M]C->B basta calcular a inversa de [M]B->C, pois [M]B->C-1 = [M]C->B. Então você pode calcular matriz da transformação T na base canônica como sendo: [T]C = [M]B->C.[T]B.[M]C->B = [M]B->C.[T]B.[M]B->C-1.
Fazendo a multiplicação (r,s) = [T]C.(2,3)C = [M]B->C.[T]B.[M]B->C-1.(2,3)C, temos que (r,s) = (12, 33) e que portanto r + s = 45, e não 9.
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