Algebra linear ii

Professor Ramon C.

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Respondeu há 2 anos

Bom dia Vanelde, tudo bem?

Esse exercício nos remete a relembrar os conceitos de Espaços Vetoriais munidos de um produto interno. Vamos lembrar o que é um produto interno. Na verdade, um produto interno em V é uma função que associa dois elementos do espaço V ao número real

<u,v>, para todo u,v E V.

Para ser um produto interno, ele deve satisfazer algumas propriedades. São elas:

I) <u,u> = 0 se, e somente se u=0

II) <u,u> >=0 para todo u E V

III) <u+w,v> = <u,v> + <w,v>, para todo u,v,w E V

IV) <a×u,v> = a×<u,v>, para todo u,v E V, ;a E IR

V) <u,v> = <v,u>

Tendo em vista essas 5 propriedades, vamos prová-las usando o fato do produto interno ser da forma

<u,v> = 0, para todo u,v E V

Com efeito,

I) Dado u E V, temos:

<u,u>= 0, para todo u E V, em particular para u=0.

II) <u,u> = 0 >=0

Pois um número é sempre maior ou igual que ele mesmo

III) Dados u,v,w E V, temos:

<u+w,v> = 0 , pois u+w E V

E <u,v> + <w,v> = 0+0=0

(Lembre-se que 0 é o elemento neutro da adição)

Igualando, vem:

0 = 0

<u+w,v> = <u,v> + <w,v>

IV) Dado a E IR e u,v E V, temos:

<a×u,v> = 0, pois a×u E V, pois V é um espaço vetorial 

Temos também que:

a×<u,v> = a×0 = 0

Igualando, vem:

0 = 0

<a×u,v> = a×<u,v>

V) Dados u,v E V:

<u,v> = 0 = <v,u>, pois u,v E V

Assim, provamos que a função <u,v> = 0, para todo u,v E V é de fato um produto interno.

Espero ter ajudado. BONS ESTUDOS!