tr(A^3) = ?
A^3 - 2A^2 + 3A + I = 0
tr(A) = 2
tr(A^-1) = -3
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A³ - 2A² + 3A + I = 0 (multiplica por A^(-1) à direita)
A³.A^(-1) - 2A².A^(-1) + 3A.A^(-1) + I.A^(-1) = 0.A^(-1)
A² - 2A + 3I + A^(-1) = 0
tr(A² - 2A + 3I + A^(-1)) = tr(0)
tr(A²) - tr(2A) + tr(3I) + tr(A^(-1)) = tr(0)
tr(A²) - 2.tr(A) + 3tr(I) + tr(A^(-1)) = tr(0)
tr(A²) - 2.2 + 3n - 3 = 0
tr(A²) = 7 - 3n
Agora voltando na equação:
A³ - 2A² + 3A + I = 0
tr(A³ - 2A² + 3A + I) = tr(0)
tr(A³) - tr(2A²) + tr(3A) + tr(I) = tr(0)
tr(A³) - 2.tr(A²) + 3.tr(A) + tr(I) = tr(0)
tr(A³) - 2.(7 - 3n) + 3.2 + n = 0
tr(A³) - 14 + 6n + 6 + n = 0
tr(A³) = 8 - 7n
onde n é a dimensão da matriz
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