Alguém poderia me explicar como é a operação matematica que resultou na expressão abaixo: T(n) = n(n-1)+(n-1)+(n-2)+....3.2+2.1+1.0 Resposta: T(n) = c*n³ ---- n
Como falo com vc por whatsapp?...Não consigo ver.
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Bom dia, Marcio!
A forma de resolver esse tipo de problema é usando a chamada indução matemática. Primeiro testamos a fórmula para algum valor de "n" natural, por exemplo n = 1. Você substitui o valor em ambas as fórmulas fornacidas para T(n), e verifica que ambas dão o mesmo resultado para n = 1.
A segunda parte da indução consiste em calcular T(n + 1) e, usando a hipótese que T(n) = c*n³, concluir que T(n + 1) = c*(n + 1)³. E isso demonstra por indução que a fórmula de T(n) para qualquer n Natural é T(n) = c*n³.
Porém eu acredito que houve um erro na hora de digitar o exercício, pois se n = 1 temos
T(1) = 1.0 = 0
enquanto para a outra fórmula
T(1) = c*1³ = c.
Por favor, me contate por telefone (wpp: (44) 99894-0702) ou verifique se não houve erro de digitação ou falta de alguma informação para que possa te atender melhor.
EDIT: Vou adicionar um exemplo de um exercício parecido que pode ajudar.
Vamos mostrar que a formula T(n) = n^2 + (n - 1)^2 + ... + 2^2 + 1^2 + 0^2, é igual a função
F(n) = (n.(n + 1).(2n + 1))/6.
Primeiro verificamos que elas são iguais para n = 1
T(1) = 1^2 = 1
F(1) = (1.(1 + 1).(2.1 + 1)/6 = 1.6/6 = 1.
Agora assumimos por hipótese que T(n) = (n.(n + 1).(2n + 1))/6, e vamos verificar a formula para T(n + 1)
T(n + 1) = (n + 1)^2 + n^2 + (n - 1)^2 + ... + 2^2 + 1^2 + 0^2 = (n + 1)^2 + T(n)
mas sabemos a formula para T(n) já, então
T(n + 1) = (n + 1)^2 +(n.(n + 1).(2n + 1))/6
= (6(n + 1)^2 + n.(n + 1).(2n + 1))/6
= (n + 1)(6n + 6 + 2n^2 +n)
= (n + 1)((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1)/6.
E isso conclui a demonstração por indução, pois concluimos que a fórmula vale para n = 1 e para todo n + 1, portanto n = 2, e também n + 1, ou seja, n = 3, e assim por diante para todo n Natural.
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