Se K é um subgrupo de H e H é um subgrupo de G, Então K é um subgrupo de G?
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Boa tarde, Amanda!
Sim.
Demonstração: Devemos que mostrar que se e
então
.
Primeiramente, veja que se é subgrupo de
, então
é subconjunto de
, ou seja,
. Da mesma forma, se
é subgrupo de
, então
é subconjunto de
, ou seja,
. Da teoria de conjunto, temos que se
e
, então
, ou seja,
é subconjunto de
, portanto, se
, então
.
Veja que ,
e
são grupos e
, então basta mostrar que se dois elementos
e
pertencem a
então
.
Da hipótese de ser subgrupo de
, temos que
é verdade que
, e como
é subgrupo de
, então
, logo,
,
. Portanto,
é subgrupo de
.
Obs: Em estou usando o teorema que afirma que se
é um subconjunto de um grupo
, então
é um subgrupo de
se, e somente se, as seguintes acontecem:
a) ;
b) .
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