Alguem pode me ajudar. Use o Pequeno Teorema de Fermat para provar que 18^12 deixa resto 1 quando dividido por 7.

Professor Santiago C.

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Respondeu há 7 anos

O pequeno teorema de Fermat estabelece que se p é um número primo, então para cada número natural a, com a>0, temos:

a^p = a (mod p) = p° +a
onde a (mod p) significa ''deixa resto a quando é dividido por p'', e p°+a significa ''múltiplo de p mais a''. Vou utilizara a segunda notação

Então, seja a = 18 e p = 7, segundo o pequeno teorema de Fermat, temos: 18^7 = 7°+18 = 7°+14+4 = 7°+4

o que fiz na última linha foi expressar 18 em função de um múltiplo de 7: 18 = 14+4, para reduzir o resto. Temos o seguinte: 18^7 = 7°+4, agora fazemos o seguinte: vamos procurar o fator 18^12:

18^14 = (18^7)(18^7) = (7°+4)(7°+4) = 7°+16

o anterior pode se escrever como:

(18^13)*18 = 7°+16 = 7°+2 = 7°+2+70 = 7°+72

como 18 e 7 são primos entre si, podemos dividir por 18 e obtemos:

18^13 = 7°+4

Fazemos o mesmo procedimento para obter 18^12. Da linha anterior, temos:

(18^12)*18 = 7°+4 = 7°+4+14 = 7°+18

como 18 e 7 são primos entre si, podemos dividir por 18 e obtemos finalmente:

18^12 = 7°+1

Assim, podemos ver que 18^12 deixa resto 1 quando dividido por 7.