Análise

Matemática Ensino Superior

Seja |f|(x)=|f(x)|, mostre que se f é contínua, então |f| será contínua. A recíproca é verdadeira? Se sim, pq?

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Pedro perguntou há 3 anos

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Professor David C.
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Respondeu há 3 anos
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Seja |f|(x)=|f(x)|, mostre que se f é contínua, então |f| será contínua. A recíproca é verdadeira? Se sim, pq?

Solução.

Seja x0 \in Dom(f) qualquer.

Dado epsilon>0, já que f é contínua em x0, existe delta>0 tal que se |x-x0|<delta então |f(x) - f(x0)|<epsilon

Logo

| |f(x)| - |f(x0)| | <= |f(x) - f(x0)| < epsilon

Portanto, |f| é contínua em x0, dado que x0 é arbitrário, segue-se que |f| é continua no subconjunto do dominio de f onde também f é continua.

 

Por outro lado, a recíproca não é verdaadeira, mais específicamente, se |f| é continua em x0, não necesariamente f é contínua em x0.

Exemplo:

Considere a função f(x) = -1, se x<0; e f(x) = 1, se x>=0.

Claramente, |f|(x) = 1, para todo x real, logo é uma função constante e portanto é contínua. Por outro lado, f não é contínua em x=0, já que f(0)=1 e os límites laterais são diferentes:

f(0+)=1

f(0-)=-1

Logo, não existe limite quando x tende a 0, portanto f têm uma discontinuidade em x=0.


Para mais informação:
asesor.matematica.1990@gmail.com
Whatsapp: (11) 994414817

 

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Professor Julio R.
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Respondeu há 3 anos
Por composição de funções contínuas |f| é continua. Por otro lado a recíproca é falsa. Escolha c ponto meio do [a, b] e defina f como 1 para os pontos menores que c e como -1 para os pontos maiores o iguais a c. Entoa |f|=1 é continua mas f não. Bom estudo!

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