Ângulos e triângulo isósceles

Question

(UECE/2017)  Sejam UVW um triângulo isósceles com base VW; E e F dois pontos nos lados UV; e UW, respectivamente, tais que as medidas dos segmentos de reta VW, WE, EF e FU são iguais. Nessas condições, pode-se afirmar corretamente que a medida do ângulo VÛW é ?

Aline C. · Answer

Primeiramente, temos que o segmento EF &eacute; igual ao segmento EU. Ent&atilde;o, &eacute; formado um tri&acirc;ngulo is&oacute;sceles com os pontos EFU, no qual chamaremos o &acirc;ngulo VUW de ''x''.Pelo teorema dos &acirc;ngulo externo, conclu&iacute;mos que EFW possui um &acirc;ngulo duas vezes maior que VUW, ou seja, ''2*x''.Al&eacute;m disso, o enunciado diz que EF = EW, ent&atilde;o EWF tamb&eacute;m possui um &acirc;ngulo de ''2*x''.Agora, analisando o tri&acirc;ngulo EUW, conclu&iacute;mos utilizando novamente o teorema dos &acirc;ngulos externos que VEW possui &acirc;ngulo de ''3*x''. Ent&atilde;o, UVW e WVU tamb&eacute;m possuem o mesmo &acirc;ngulo, pois VW = EW e VU = WU.Com todos os &acirc;ngulos encontrados, vamos som&aacute;-los e igual&aacute;-los a 180&ordm;, valor total da soma dos &acirc;ngulos de um tri&acirc;ngulo:3x + 3x+ x= 180&ordm;7x = 180&ordm;x = 25,7&ordm;

Danilo C. · Answer

Chamemos VUW de x, e os outros dois ângulos, UVW e UWV de y (são iguais visto que o triângulo é isósceles e a base é VW).   Analisando o triângulo FUE, percebemos que ele é isósceles com base UE, visto que os segmentos EF e FU são iguais. Assim o ângulo UEF é igual ao ângulo FUE que vale x. Pelo teorema do ângulo externo, EFW = UEF + FUE = x + x = 2x.  Analisando o triângulo WEV, percebemos que ele é isósceles e semelhante a UVW. Logo, o ângulo EWV é igual ao ângulo VUW, por semelhança de triângulos. O ângulo EWF valerá então UVW - EWV = y - x.  Finalmente, observando o triângulo EFW, percebemos que ele também é isósceles, e que os ângulos EFW e EWF são iguais. Logo, 2x = y - x --> y = 3x, ou seja, os ângulos UVW e UWV valem o triplo de VUW.  Sabemos também que a soma dos ângulos no triângulo é igual a 180°. Então x + y + y = x + 2y = x+ 6x = 7x = 180°.  x = 180/7 que vale aproximadamente 25,7°.

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