EDO Separável, portanto dá para isolarmos os termos x e y:
(2y²+3)/(y+5)dy = x²(y-2)dx
(2y²+3)/[(y+5)(y-2)]dy = x²dx -------> isolando os termos x e y:
Para resolver a EDO, calcula-se a integral dos dois lados, mas antes precisamos manipular um pouco essas funções:
(2y²+3)/(y²+3y-10)dy = x²dx
No lado esquerdo da equação, os polinômios do numerador e denominador possuem mesmo grau, então podemos dividir os polinômios. Fazendo a divisão do numerador pelo denominador obtemos o quociente igual a 2 e resto igual a (-6y+23)
Em uma divisão temos que o dividendo é igual ao produto do quociente pelo divisor mais o resto. Nesse caso temos dividendo = 2y²+3. Divisor igual a y² + 3y - 10. Quociente igual a 2 e resto igual a -6y+23.
Aplicando as operações:
2(y²+3y-10) - 6y + 23 = 2y² + 3 -------------> dividindo todos os termos por (y²+3y+10) obtemos:
2 + (-6y+23)/[y²+3y+10] = (2y² + 3)/[y²+3y+10]
Sabendo que a divisão dos polinômios do lado direito da igualdade pode ser representada pelo encontrado no lado esquerdo, basta integrarmos um lado da equação para sabermos o resultado. No caso o esquerdo:
Integral [2 + (-6y+23)/[y²+3y+10]]dy = Integral [x²dx]
Integral da soma é igual a soma das integrais:
2y + Integral [(-6y+23)/[y²+3y+10]]dy = x³/3 + C
Integral [(-6y+23)/[y²+3y+10]]dy ----------------> Usaremos o cálculo de integral por frações parciais:
Integral [(-6y+23)/[y²+3y+10]]dy = Integral [A/(y+5) + B/(y-2)]dy
-6y+23 = A(y-2) + B(y+5)
-6y+23 = Ay - 2A + By + 5B
Sistema:
A + B = -6
-2A + 5B = 23
A = -53/7
B = 11/7
Aplicando os valores de A e B em Integral [A/(y+5) + B/(y-2)]dy:
Integral [-53/7(y+5)] dy + Integral [11/7(y-2)] dy = (-53/7)ln(y+5) + (11/7)ln(y-2)
Resultado:
2y + (-53/7)ln(y+5) + (11/7)ln(y-2) = x³/3 + C