Combinatória - permutação - matemática discreta

Professora Elis P.

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Respondeu há 3 anos

Ygor,

Vou tentar te explicar o máximo aqui, são duas questões que exigem um pouco atenção, e caso precise se aprofundar ou entender melhor o assunto também estou disponível para aulas ok?

1 - Essa questão é uma pouco complexa, usarei a seguinte estratégia de resolução:

Vou verificar de quantas formas podemos fazer a distribuição de todas as frutas, e terei todas essas combinações possíveis, distribuindo primeiro os abacaxis, depois as bananas e depois os caquis, porém dessa forma estão incluídas as possibilidades de alguém ficar sem receber frutas.

Posteriormente verificarei a quantidade de possibilidades de alguém ficar sem receber uma fruta, e subtrairei das possibilidades anteriores:

Não consigo distribuir as frutas todas de uma vez, apenas seria possível se fossem apenas "frutas", mas como são bananas abacaxis e caquis preciso fazer essa distinção.

Para distribuir os 6 abacaxis, considerarei o seguinte esquema, identificando as pessoas como X, Y, Z e W (só para efeito didático), e os abacaxis como A:

W  |  X  |  Y  |  Z  - repare que usei | para separar as pessoas, isso é importante, pois com eles conseguirei montar todas as possibilidade de distribuir os abacaxis, por exemplo:

AAA||A|AA (W recebeu 3 abacaxis, X nenhum, Y 1 e Z 2)

A|||AAAAA (W recebeu 1, X e Y nenhum, Z 5)

||AAA|AAA (W e X nenhum, Y 3 e Z 3)

|||AAAAAA (somente Z recebeu os 6 abacaxis)

Repare que conforme os tracinhos se permutam com os A, temos distribuições diferentes das frutas.

Só pra ver se você entendeu, como ficaria se W e Z recebessem 2 abacaxis e X e Y 1 abacaxi cada? ^{(resposta no fim da questão rsrsrs)}

Percebeu que basta que eu permute A e | e consigo montar todas as possibilidades de distribuição do abacaxi, isso me dará uma permutação com elemento repetido, e agora que te expliquei vou usar essa lógica direto:

Para distribuir então os abacaxis eu tenho um total de 9 elementos (6 abacaxis + 3 tracinhos)

Abacaxi = 9! / (6! . 3!) = (9 . 8 . 7 . 6!) / (6! . 3 . 2 . 1) = 84

Mas para cada combinação de abacaxis, também terei de Bananas e caquis:

Banana = 11! / (8! . 3!) = 165  ^{(11 = 8 bananas + 3 tracinhos)}

Caqui = 13! / (10! . 3!) = 286

Total de formas de distribuir as frutas entre as 4 pessoas:

84 . 165 . 286 = 3 963 960 (I) ^{(incluindo a possibilidade de alguém ficar sem fruta)}

Agora vou verificar se 1 deles ficar sem receber fruta:

Vou distribuir abacaxis só entre 3 pessoas (2 || apenas) usando a mesma lógica anterior:

Abacaxi = 8! / (6! . 2!) = 28

Banana = 10! / (8! . 2!) = 45

Caqui = 12! / (10! . 2!) = 66

1 pessoa ficando sem frutas = 28 . 45 . 66 = 83 160

Como são 4 pessoas ao todo precisamos multiplicar essa possibilidade por 4, pois cada hora 1 ficará sem frutas.

4 . 83 160 = 332 640  (II)

Agora vamos ver se 2 ficarem sem frutas:

Faço uma combinação 4,2 para ver de quantas formas 2 pessoas podem não receber frutas, e repito todo o processo acima, mas agora como só 2 pessoas receberão frutas, teremos 1 único | entre elas:

Abacaxi = 7! / 6! = 7

Banana = 9! / 8! = 9

Caqui = 11! / 10! = 11

2 pessoas ficando sem frutas = 7 . 9 . 11 = 693

C_4,2 = 4! / (2! . 2!) = 6

Logo existem 6 maneiras diferentes de combinar as 2 pessoas que ficarão sem frutas:

6 . 693 = 4 158  (III)

E se 3 ficarem sem receber frutas, ou seja, todas as frutas forem entregues a W, a X, a Y ou a Z, isso pode acontecer de 4 formas diferentes apenas.  (IV)

Portanto o total de distribuição das frutas de modo que pelo menos 1 pessoas fique sem receber nenhuma fruta será:

(II) + (III) + (IV)

332 640 + 4 158 + 4 = 336 802 (V)

Subtraímos então do total (I) – (V)

3 963 960 - 336 802 = 3 627 158

E então o total de formas de distribuir as frutas de modo que todos recebam pelo menos 1 delas será 3 627 158

se W e Z recebesses 2 abacaxis e X e Y 1 abacaxi cada, teríamos: AA|A|A|AA

2a) Marcela = M

      Bruna = B

M _ _ _ B _ _ _

Para ocupar o espaço entre M e B, vamos selecionar 3 dentre as 6 pessoas restantes, e lembrar que como é uma fila a ordem delas importa, logo é um arranjo

A_6,3 = 6! / 3! = 120

Ao selecionar essas 3, montamos um bloco composto por (M, as 3, e B), que passa a ser 1 único elemento na fila a permutar com as outras 3 restantes

(M _ _ _ B) _ _ _  =  4! = 24

Logo teremos 120 . 24 = 2 880

Porém ainda devemos lembrar que a questão coloca 3 pessoas entre M e B, mas não define a ordem delas, e que portanto tudo o que fizemos acima também pode se repetir alterando a ordem de M e B:

B _ _ _ M _ _ _

Logo teremos 2880 . 2 = 5 760 formas de montar essa fila

De quantas maneiras estas pessoas podem ser permutadas em uma fila se entre Marcela e Bruna existem exatamente três pessoas? 5 760 maneiras

1b) Primeiramente fixamos as duas meninas na mesa, e usando a mesma lógica inicial da questão anterior, selecionamos em ordem 3 das restantes a serem dispostas entre elas

A_6,3 = 6! / 3! = 120

Feito isso, as outras 3 que sobraram devem se permutar entre os 3 lugares restantes na mesa:

3! = 6

Portanto teremos :

120 . 6 = 720

De quantas maneiras estas pessoas podem ser permutadas em uma mesa redonda se entre Marcela e Bruna existem três pessoas, tanto no sentido horário quanto no sentido anti-horário? 720 formas

Espero ter ajudado.

Fica com Deus!