Combinatória

Professor Pedro M.

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Respondeu há 5 anos

Olá, Diana!
Para essa questão precisamos notar qual é a condição necessária para que um triângulo dessa forma seja retângulo. Para determinarmos isso podemos escrever o prisma no espaço tridimensional R^3 onde as faces estão contidas no plano complexo. Assim, considerando que o prisma tem altura h > 0, podemos descrever as coordenadas de todos os seus vértices pelo conjunto {(cos(pi.n/6),sen(pi.n/6),h) | n = 0, 1, 2, 3, 4, 5} U {(cos(pi.n/6),sen(pi.n/6),0) | n = 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Sabemos que um vértice do prisma esta no primeiro conjunto da união (face superior) e os outros dois no segundo conjunto.

Um triângulo será retângulo se um de seus ângulos entre duas arestas for 90, e isso ocorre somente se o produto escalar dos vetores diretores de duas de suas arestas é zero. Considere o triângulo com vértices (1,0,h), (cos(pi.n1/3),sen(pi.n1/3),0) e (cos(pi.n2/3),sen(pi.n2/3),0). Os vetores associados a duas arestas genéricas são
v1 = (1,0,h) - (cos(pi.n1/3),sen(pi.n1/3),0)
v2 = (cos(pi.n1/3),sen(pi.n1/3),0) - (cos(pi.n2/3),sen(pi.n2/3),0)
E agora precisamos checar para quais valores de n1, n2 o produto escalar entre duas delas é zero.
<v1,v2> = (1 - cos(pi.n1/3)).(cos(pi.n1/3) - cos(pi.n2/3)) + (-sen(pi.n1/3)).(sen(pi.n1/3) - sen(pi.n2/3))
              = cos(pi.n1/3) - cos(pi.n2/3) + cos(pi.n1/3).cos(pi.n2/3) + sen(pi.n1/3)sen(pi.n2/3) - 1
              = cos(pi.n1/3) - cos(pi.n2/3) + cos(pi.(n1 - n2)/3) - 1 = 0
Tal igualdade ocorre para os valores n1 = 0 e n2 = 1, 2, 3, 4 ou 5, n1 = 3 e n2 = 1 ou 5 são as soluções possíveis, já tirando os triãngulos repetidos (n1 = 0 e n2 = 1, n2 = 0 e n1 = 1 por exemplo). Assim podemos ver que cada vértice teria no total sete triângulos retângulos associados a ele. como temos 12 vértices devemos ter um total de 84 triâgulos retângulos.