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Sabendo que sen (x + pi/2) = cos x, implica que sen ( x/2 + pi/2 ) = cos ( x/3 ), ou seja:
x pi/4 = x/3 + pi/2
3 x pi = 4x + 6 pi
3x pi - 4x = 6 pi
x ( 3 pi - 4 ) 6 pi
x = 6 pi / (3 pi - 4 )
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Boa noite!
Como não foi dado nenhum intervalo de solução para o problema, é necessário encontrar infinitas soluções.
1) Vamos fazer a seguinte transformação: cos(x/3) = sin(pi/2-x/3). Obtemos a equação sin(xpi/4)-sin(pi/2-x/3)=0.
2) Utilizando a identidade de Werner (sin(a)-sin(b)=2sin((a-b)/2)cos((a+b)/2), a equação fica: 2sin((3xpi-6pi+4x)/24)cos((3xpi+6pi-4x)/24)=0. Agora, basta resolver isoladamente para quando cada um dos produtos é zero:
3) a) sin((3xpi-6pi+4x)/24)=0 -> (3xpi-6pi+4x)/24 = kpi -> x= 6pi(4k+1)/(3pi+4), onde k é um número inteiro
3) b) cos((3xpi+6pi-4x)/24)=0 -> (3xpi+6pi-4x)/24 = pi/2 + npi -> x= 6pi(4n+1)/(3pi-4), onde n é um número inteiro
4) A resposta final é a união dos dois conjuntos-solução: x= 6pi(4k+1)/(3pi+4) OU x= 6pi(4n+1)/(3pi-4), com k e n inteiros
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