Considere a função quadrática y = x2 ?4x + 5 . Seja N o número de pontos, com coordenadas inteiras, pertencentes ao gráfico dessa função e que estão acima da re

Olá, Fernanda. Tudo bem?

Vamos fazer um esboço do gráfico da função quadrática (parábola) para usar como referência:

http://postimg.org/image/4tb0ewe0r/

Desculpa, desenho não é meu forte. Se não tiver ficado claro, me avise que tentarei fazer um melhor.
Não sabemos exatamente em que pontos o gráfico da função intercepta as retas y = 10 e y = 2. Vamos chamar as abscissas desses pontos de x1, x2, x3, x4 (veja as posições delas no desenho!)

Se conseguirmos determinar esses valores, os pontos que procuramos serão aqueles que serão inteiros e terão valores de x entre x3 e x1 ou entre x2 e x4.

Para achá-los, basta calcularmos os valores de x dos pontos em que o gráfico intercepta as retas por meio da expressão y = x^2 - 4x + 5 = 2 e y = x^2 - 4x + 5 = 10.

Ou seja, basta resolvermos as equações do 2º (Pela fórmula de Bháskara ou como achar melhor):

x^2 - 4x + 5 = 2 -> x^2 - 4x + 3 = 0 (i)
x^2 - 4x + 5 = 10 -> x^2 - 4x - 5 = 0 (ii)

O que nos dá os seguintes valores:

(i) x1, x2 (pontos de intersecção com y = 2) = 1, 3
(i) x3, x4 (pontos de intersecção com y = 10) = -1, 5

Finalmente, quantos valores inteiros existem entre x2 e x4 (3 e 5 respec.)? R: 1, o inteiro 4.
E entre x3 e x1 (-1 e 1 respec.)? R: 1, o inteiro 0.

Se quiser, substitua os valores 0 e 2 na expressão da função e verifique que, de fato, y estará entre 2 e 10

Portanto, N = 2.

Espero não ter ficado confuso. Se não estiver, me avise que tento explicar de outro jeito.
Espero ter ajudado.

O exercício pede para encontrar o número N de pontos pertencentes ao gráfico da função y = x² - 4x + 5 entre 2 e 10. Note que as palavras acima e abaixo devem ser interpretadas como y > 2 e y < 10, respectivamente. Neste caso, precisamos resolver as equações y > 2 e y < 10 , ou seja, x² - 4x + 5 > 2 x² - 4x + 5 < 10 No entanto, o exercício torna-se simples ao compreender que o valor de c = 5, sendo c o valor da função para x = 0. Desta forma, temos um ponto entre 2 e 10, ou seja, o ponto (0, 5) é um dos que está entre as retas y > 2 e y < 10. Concentrando em y = x² - 4x + 5, e calculando o x do vértice, xv, temos que xv = -b/2a = -(-4)/2.1 => xv = 2 Substituindo xv = 2, teremos que y = 1 (4 - 8 + 5) Logo o vértice se encontra abaixo da região delimitada pelas duas retas. Como temos uma parábola com a concavidade voltada para cima, o vértice é o menor valor desta parábola. Então, precisamos verificar se existe, outros valores inteiros para x onde y(x) esteja entre 2 e 10. Já sabemos que em x =0; y = 5; e x = 2; y = 1. Resta saber se o valor de y para x = 1 está entre 2 e 10. y (x=1) = 2 (1 - 4 + 5). Note que o ponto (1, 2) não pertence a região delimitada. Como a função quadrática é simétrica, o outro ponto com x inteiro que está entre 2 e 10, é simétrico ao ZERO em relação ao vértice x =2, ou seja, x = 4; y = 5. Observação: O valor de y para x = -1 e x = 5 é 10 (y = 1 + 4 + 5 ou y = 25 - 20 + 5). O valor y = 10 também não pertence a região delimitada pelas duas retas. Resumindo, fazendo atribuição de valores inteiros para x de -2 até 6, teríamos y (-2) = 17; y (-1) = 10; y (0) = 5; y (1) = 2 y (2) = 1 y (3) = 2 y (4) = 5; y (5) = 10; y (6) = 17; Como precisamos ter y > 2 e y < 10. Os dois pontos são (0, 5) e (4, 5). Espero ter ajudado!