Considere a sequência de 1+N termos: 1, 3, 3², 3³ , ... , 3N - 1, 3N. Seja SN a soma dos N primeiros termos dessa sequência. O valor de 3N - SN .é

Olá, Luana. Tudo bem?

O truque é enxergar essa sequência que você citou como uma Progressão Geométrica (PG).
A soma dos n primeiros termos de uma PG (Sn) pode ser calculada pela seguinte expressão:

Sn = a1 x (q^n - 1)/(q - 1)

Onde a1 é o primeiro termo e q é a razão da PG. Nesse caso: a1 = 1 e q = 3.

Ou seja:

Sn = (3^n - 1)/(3 - 1)

Agora vamos à expressão de interesse. Veja se as seguintes passagens algébricas fazem sentido para você (tente acompanhar escrevendo num papel). Se não fizer, me avise que eu tento explicar melhor. No meio da conta, foi necessário adicionar e subtrair 1:

3^n - Sn = 3^n - (3^n - 1)/(3 - 1) = [3^(n+1) - 3^n - 3^n + 1]/(3 - 1) = [3^(n+1) - 3^n - 3^n + 1 + 1 - 1]/(3 - 1) =

[3^(n+1) - 1 - 3^n - 3^n + 2]/(3 - 1) = [3^(n+1) - 1]/(3 - 1) - 2x(3^n + 1)/2 =

[3^(n+1) - 1]/(3 - 1) - 3^n + 1

Agora note que [3^(n+1) - 1]/(3 - 1) é justamente a expressão da soma dos (n+1) primeiros termos da PG! Ou seja, S(n+1). Note também que o (n+1)-ésimo termo, como você mesma colocou no enunciado, é o 3^n (pois a sequência começa no 1). E é claro que vale que: S(n+1) = Sn + 3^n.

Finalmente, usando isso e voltando à conta anterior:

3^n - Sn = [3^(n+1) - 1]/(3 - 1) - 3^n + 1 = S(n+1) - 3^n + 1 = Sn + 3^n - 3^n + 1 = Sn + 1

Espero que não tenha ficado muito confuso e que tenha ajudado.
Me avise se não entendeu alguma passagem que eu procuro explicar melhor.
Abraço!