Demonstração

Eh simples... se a interseção de AB é igual a interseção de AC, portanto os conjuntos tem valores iguais em A, B e C, e portanto, a união entre eles terão o mesmo valor... O conjunto das partes A e B serão iguais justamente por essa justificativa dita acima Ela vale pros dois exercícios

a) Se A intersecção B = A intersecção C e A união B = A união C então B=C Suponha por absurdo que exista um elemento x pertencente a C que não esteja em B. Como A união B = A união C, o elemento não estando em B ele deve estar em A, pois senão não estaria na união de A com B. Mas por outro lado, x está em A intersecção C (pois está em C e em A, conforme deduzido acima), então tem de estar em A intersecção B, mas isso é absurdo porque X não está em B. CQD b) Se o conjunto das partes de A igual ao conjunto das partes de B então A=B Novamente por absurdo suponha que exista um elemento x que está em A mas não em B. Nesse caso, a parte de A definida como o conjunto {x | x não está em B} não está no conjunto de partes de B, o que contraria a proposição. CQD c) A\B contido em B se e somente se A\B for igual a vazio Suponha que existisse um elemento x contido em A\B. Mas então se A\B está contido em B, x está no conjunto B, contrariando a definição de A\B que são os elementos de A não contidos em B. CQD