Derivação

Professor Wesley L.

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Respondeu há 5 anos

Melhor resposta

Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Olá Jemima!

Vou tentar responder sua questão.



Primeiramente, lembre-se que a derivada de uma função f(x) no ponto b é definida como:

lim(x -> b) (f(x) - f(b))/(x - b)

Aqui a notação fica difícil de ser entendida. Acima quero dizer que a derivada de alguma função f(x) no ponto b é igual ao limite de f(x) - f(b) dividido por x - b. Isso quando x tente para b.
Dizemos que f(x) é derivável no ponto b se o limite acima existe.

O enunciado que você escreveu não está muito preciso. A função f está definida de maneira ambígua (você disse que ela é igual a uma coisa quando x é menor ou igual a 3 e também disse que ela é igual a outra coisa diferente quando x é menor que 3. Creio que seja um erro de digitação, então vou supor que f seja definida como:

x^2 -9 , se x <= 3
-x+3 , se x > 3


Sabendo dessas coisas, vamos resolver seu problema:

Como eu disse, a derivada é

lim(x -> 3) (f(x) - f(3)) / (x-3)


Como a função é definida de duas maneiras diferentes ao redor de 3, precisaremos calcular os limites laterais.


Vamos calcular primeiro com x tendendo a 3 "pela esquerda" (ou seja, com valores menores do que 3):

lim(x -> 3-) (f(x) - f(3)) / (x-3)

lim(x -> 3-) (x²-9 - 0) / (x-3) como estamos considerando valores menores que 3, usei f(x) = x²-9

lim(x -> 3-) (x - 3)(x + 3) / (x-3) aqui eu usei uma fatoração (diferença de quadrados)

lim(x -> 3-) (x + 3) = 6



( I ) Agora vamos calcular o limite quando x tende a 3 "pela direita" (ou seja, com valores maiores que 3).

lim(x -> 3+) (f(x) - f(3)) / (x-3)

lim(x -> 3+) (-x+3 - 0) / (x-3) como estamos considerando valores maiores que 3, usei f(x) = -x+3

lim(x -> 3+) -(x - 3) / (x-3) aqui apenas fatorei o sinal de menos e deixei fora dos parênteses.

lim(x -> 3+) -(x + 3) / (x + 3) = -1



Ora, temos que os limites laterais são diferentes. Por definição de limites, esse limite não existe. Portanto a derivada também não existe nesse ponto 3 nesse função. Em outras palavras, a função em questão não é derivável no ponto x=3.


Só uma pequena observação: não confunda o limite da função (que nesse caso existe e é igual a zero) com o limite que define a derivada (que, como já mostrado, não existe).


Espero que eu tenha aumentado seu entendimento.
Qualquer dúvida é só complementar a questão que respondo com prazer.