Determine e classifique os pontos estacionários de f(x,y)

Olá Marco, Para encontrar e classificar os pontos críticos de uma função de duas variáveis, vc precisa seguir um conjunto de passos. PRIMEIRO PASSO - Encontre os pontos críticos: Para isso, vc precisará derivar a função parcialmente em relação à x e y e igualar cada uma à 0, pois vc está buscando os pontos críticos, onde a derivada é nula. Então, prosseguindo, Em relação à x, teremos --> df(x,y)/dx = 3x^2-12y =0 Em relação à y, teremos --> df(x,y)/dy = -12x+24y^2 =0 Assim, após as derivadas, vc fica com o seguinte sistema de equações: 3x^2-12y =0 24y^2-12x =0 Agora, isolando y na primeira equação, vc ficará com y = (1/4)x^2 (#) Substituindo na segunda equação, teremos (24/16)x^4 - 12x = 0 Simplificando, (1/8)x^4 - x = 0 Finalmente, resolve a equação e encontra as raízes, x[(1/8)x^3 - 1] = 0 Uma raíz é 0 e as outras serão, (1/8)x^3 - 1 = 0 x^3 = 8 x = 2 (três raízes possuem o valor 2) Portanto, em relação à x, os pontos críticos estarão em (0, y) e (2,y) Resta saber quais serão os valores de y. Para isso, substitui os valores encontrados para x lá na equação (#): Para x = 0, y = .(1/4)0^2 = 0 Para x = 2, y = .(1/4)2^2 = 1 Assim, vemos que os pontos críticos estarão em (0, 0) e (2,1) SEGUNDO PASSO - Classifica os pontos críticos Para isso, calcula a segunda derivada de f(x,y) em relação à x, em relação à y, e a derivada mista: d^2f(x,y)/dx^2 = 6x d^2f(x,y)/dy^2 = 48y d^2f(x,y)/dxdy = -12 Agora, substitui na função D(x,y) = [d^2f(x,y)/dx^2]*[d^2f(x,y)/dy^2]-[d^2f(x,y)/dxdy]^2 D(x,y) = [6x]*[48y]-[-12]^2 D(x,y) = 288xy-144 Por último, avalia a função D(x,y) nos pontos críticos que encontramos, (0, 0) e (2,1/2) e aplica a seguinte regra: --- Se D(x,y) > 0 e d^2f(x,y)/dx^2 > 0, então, Mínimo Relativo; --- Se D(x,y) > 0 e d^2f(x,y)/dx^2 < 0, então, Máximo Relativo; --- Se D(x,y) = 0 , então, Ponto de Sela; --- Se D(x,y) < 0 , então, nada podemos dizer sobre o ponto crítico. Outra técnica deverá ser utilizada para classificar o ponto crítico. Substituindo os pontos críticos e usando a regra acima, teremos Para (0,0): D(x,y) = -144 , então, nada podemos dizer sobre o ponto crítico. Para (2,1): D(x,y) = 288*2*1-144 = 432 e d^2f(x,y)/dx^2 = 6*2 = 12, portanto, Mínimo Relativo. Então, como vc pode ter notado, é um receitão de bolo, só seguir os passos e vc chega nos resultados pra maioria das funções de duas variáveis. É isso, Até